$\text{a)}$  

W zadaniu podane mamy, że energie kinetyczne protonu i elektronu są takie same.

Energię kinetyczną przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m\cdot v^2}{2}$  

gdzie $E_k$  jest energia kinetyczną ciała o masie $m$  poruszającego się z prędkością liniową $v$ .

Energie kinetyczną elektronu przedstawimy wzorem:

$E_{ke}=\frac{m_e\cdot v_e^2}{2}$  

Natomiast energię kinetyczną protonu przedstawimy wzorem:

$E_{kp}=\frac{m_p\cdot v_p^2}{2}$  

Korzystając z faktu, że energie są sobie równe wyznaczmy wartość prędkości prędkości protonu:

$E_{kp}=E_{ke}$

$\frac{m_p\cdot v_p^2}{2}=\frac{m_e\cdot v_e^2}{2}\mid \cdot 2$  

$m_p\cdot v_p^2=m_e\cdot v_e^2\mid :m_p$  

$v_p^2=\frac{m_e}{m_p}\cdot v_e^2\mid \sqrt{}$  

$v_p=\sqrt{\frac{m_e}{m_p}}\cdot v_e$  

Na cząstkę znajdującą się w polu magnetycznym działa siła Lorentza, która spełnia rolę siły dośrodkowej.

Siła Lorentza jest siłą magnetyczną działającą na naładowaną cząstkę wyrażona wzorem:

$\overrightarrow{F_L}=q\cdot \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$  

gdzie ${\overrightarrow{F}}_L$  jest siłą Lorentza, $\overrightarrow{v}$  jest prędkością liniową z jaką porusza się ładunek o wartości $q$  znajdujący się w polu o indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$ .

Zauważmy, że wektor indukcji magnetycznej jest prostopadły do wektora prędkości z jaką porusza się cząstka. Z tego wynika, że:

$\overrightarrow{F_L}=q\cdot \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$  

$F_L=q\cdot v\cdot B\cdot \sin {90}^{\circ }$

$F_L=q\cdot v\cdot B\cdot 1$

$F_L=q\cdot v\cdot B$  

Wartość siły dośrodkowej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_d=\frac{m\cdot v^2}{r}$

gdzie $F_d$  jest wartością siły dośrodkowej działającej na ciało o masie $m$  poruszające się z szybkością liniową $v$  po okręgu o promieniu $r$ .

Porównajmy wzory na wartości siły i wyznaczmy długość promienia po jakim porusza się cząstka:

$F_L=F_d$  

$q\cdot v\cdot B=\frac{m\cdot v^2}{r}\mid :v$  

$q\cdot B=\frac{m\cdot v}{r}\mid \cdot r$  

$q\cdot B\cdot r=m\cdot v\mid :\left(q\cdot B\right)$  

$r=\frac{m\cdot v}{q\cdot B}$  

Wiemy, że proton i elektron mają taką samą wartość ładunku:

$q_p=q_e=e$  

Z tego wynika, że promień po jakim porusza się proton ma postać:

$r_p=\frac{m_p\cdot v_p}{e\cdot B}$  

Natomiast promień po jakim porusza się elektron będzie miał postać:

$r_e=\frac{m_e\cdot v_e}{e\cdot B}$

Wówczas stosunek promieni półokręgów po jakich poruszają się proton i elektron będzie miał postać:

$\frac{r_p}{r_e}=\frac{\frac{m_p\cdot v_p}{e\cdot B}}{\frac{m_e\cdot v_e}{e\cdot B}}$  

$\frac{r_p}{r_e}=\frac{m_p\cdot v_p}{e\cdot B}\cdot \frac{e\cdot B}{m_e\cdot v_e}$  

$\frac{r_p}{r_e}=\frac{m_p\cdot v_p}{m_e\cdot v_e}$  

$\frac{r_p}{r_e}=\frac{m_p\cdot \sqrt{\frac{m_e}{m_p}}\cdot v_e}{m_e\cdot v_e}$  

$\frac{r_p}{r_e}=\frac{m_p}{m_e}\cdot \sqrt{\frac{m_e}{m_p}}$  

$\frac{r_p}{r_e}=\sqrt{\frac{m_p^2}{m_e^2}\cdot \frac{m_e}{m_p}}$  

$\frac{r_p}{r_e}=\sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$  

Z tablic fizycznych odczytujemy, że:

$m_e=9,11\cdot {10}^{-31}\text{kg}$  

$m_p=1,672\cdot {10}^{-27}\text{kg}$  

Wówczas podstawiając dane liczbowe do wzoru otrzymujemy, że stosunek promieni wynosi:

$\frac{r_p}{r_e}=\sqrt{\frac{1,672\cdot {10}^{-27}\text{kg}}{9,11\cdot {10}^{-31}\text{kg}}}=\sqrt{\frac{167,2\cdot {10}^{-29}\text{kg}}{9,11\cdot {10}^{-31}\text{kg}}}\approx$      

$\approx \sqrt{18,353\cdot {10}^2}=\sqrt{1835,3}\approx 42,8$      

 

$\text{b)}$  

W zadaniu podane mamy, że pędy protonu i elektronu są takie same.

Wartość pędu przedstawiamy za pomocą wzoru:

$p=m\cdot v$  

gdzie $p$  jest wartością pędu ciała o masie $m$  poruszającego się z szybkością liniową $v$ .

Wówczas otrzymujemy, że wartość pędu protonu będzie miał postać:

$p_p=m_p\cdot v_p$  

Natomiast wartość pędu elektronu będzie miał postać:

$p_e=m_e\cdot v_e$  

Wiedząc, że pędy są takie same wyznaczamy prędkość z jaką porusza się proton:

$p_p=p_e$  

$m_p\cdot v_p=m_e\cdot v_e\mid :m_p$  

$v_p=\frac{m_e}{m_p}\cdot v_e$  

Wówczas korzystając z własności wyznaczonych w podpunkcie a) otrzymujemy, że stosunek promieni półokręgów wynosi:

$\frac{r_p}{r_e}=\frac{\frac{m_p\cdot v_p}{e\cdot B}}{\frac{m_e\cdot v_e}{e\cdot B}}$  

$\frac{r_p}{r_e}=\frac{m_p\cdot v_p}{e\cdot B}\cdot \frac{e\cdot B}{m_e\cdot v_e}$  

$\frac{r_p}{r_e}=\frac{m_p\cdot v_p}{m_e\cdot v_e}$  

$\frac{r_p}{r_e}=\frac{m_p\cdot \frac{m_e}{m_p}\cdot v_e}{m_e\cdot v_e}$  

$\frac{r_p}{r_e}=\frac{m_e}{m_e}$  

$\frac{r_p}{r_e}=1$