Dane:

$r_w=1\Omega$  

$R_1=50,5\Omega$  

$R_2=300\Omega$  

$R_3=200\Omega$  

$R_4=600\Omega$  

$C=5\mu \text{F}=5\cdot {10}^{-6}\text{F}$  

$Q=25\mu \text{C}=25\cdot {10}^{-6}\text{C}$  

Szukane:

$\mathcal{E}=?$  

Rozwiązanie: 

Wykonajmy schemat uproszczony układu:

 

Zauważmy, że oporniki 2, 3 i 4 połączone są równolegle. Opór zastępczy oporników połączonych równolegle obliczamy korzystając  z wzoru:

$\frac{1}{R_z}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{R_i}$

gdzie $R_i$  jest oporem poszczególnych oporników, $n$  jest liczbą oporników w układzie.

Z tego wynika, że opór zastępczy oporników 2, 3, i 4 będzie miał postać:

$\frac{1}{R_{2,3,4}}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}$  

$\frac{1}{R_{2,3,4}}=\frac{R_3\cdot R_4}{R_2\cdot R_3\cdot R_4}+\frac{R_2\cdot R_4}{R_2\cdot R_3\cdot R_4}+\frac{R_2\cdot R_3}{R_2\cdot R_3\cdot R_4}$  

$\frac{1}{R_{2,3,4}}=\frac{R_3\cdot R_4+R_2\cdot R_4+R_2\cdot R_3}{R_2\cdot R_3\cdot R_4}$  

Z tego wynika, że:

$R_{2,3,4}=\frac{R_2\cdot R_3\cdot R_4}{R_3\cdot R_4+R_2\cdot R_4+R_2\cdot R_3}$  

Opornik 1 z układem oporników 2, 3, 4 połączony jest szeregowo. Opór zastępczy oporników połączonych szeregowo obliczamy korzystając z wzoru:

$R_z=\sum _{i=1}^n{R}_i$

gdzie $R_i$  jest oporem poszczególnych oporników, $n$  jest liczbą oporników w układzie.

Z tego wynika, że opór zastępczy całego układu będzie miał postać:

$R_z=R_1+R_{2,3,4}$  

$R_z=R_1+\frac{R_2\cdot R_3\cdot R_4}{R_3\cdot R_4+R_2\cdot R_4+R_2\cdot R_3}$  

Korzystając z prawa Ohma wiemy, że:

$U=R\cdot I$  

gdzie $I$  jest natężeniem, $R$  jest oporem.

Z tego wynika, że napięcie prądu na oporniku 1 będzie miało postać:

$U_1=R_1\cdot I_1$  

Przez opornik 1 przepływa taki sam prąd cały układ:

$I_1=I$  

Korzystając z prawa Ohma dla całego obwodu otrzymujemy wzór:

$I=\frac{\mathcal{E}}{R+r_w}$

gdzie $I$  jest natężeniem prądu płynącego przez obwód zamknięty o wartości siły elektromotorycznej $\mathcal{E}$  , który ma opór wewnętrzny $r_w$  i zewnętrzny $R$ .

Z tego wynika, że natężenie prądu w całym obwodzie będzie miało postać:

$I=\frac{\mathcal{E}}{R_z+r_w}$  

Wówczas napięcie na oporniku 1 będzie miało postać:

$U_1=R_1\cdot I_1$  

$U_1=R_1\cdot I$  

$U_1=R_1\cdot \frac{\mathcal{E}}{R_z+r_w}$  

Pojemność kondensatora obliczamy korzystając z wzoru:

$C=\frac{Q}{U}$  

gdzie $C$  jest pojemnością kondensatora, na którym zgromadził się ładunek $Q$  podłączonego do napięcia $U$ .

Z tego wynika, że napięcie na kondensatorze wynosi:

$U_c=\frac{Q}{C}$  

Ponieważ opornik 1 jest połączony równolegle z kondensatorem, to napięcie na oporniku 1 będzie takie samo jak napięcie na kondensatorze:

$U_1=U_c$

$R_1\cdot \frac{\mathcal{E}}{R_z+r_w}=\frac{Q}{C}\mid \cdot \left(R_z+r_w\right)$  

$R_1\cdot \mathcal{E}=\frac{Q}{C}\cdot \left(R_z+r_w\right)\mid :R_1$   

$\mathcal{E}=\frac{Q}{C}\cdot \frac{R_z+r_w}{R_1}$   

$\mathcal{E}=\frac{Q}{C}\cdot \frac{R_1+\frac{R_2\cdot R_3\cdot R_4}{R_3\cdot R_4+R_2\cdot R_4+R_2\cdot R_3}+r_w}{R_1}$   

$\mathcal{E}=\frac{Q}{C}\cdot \left(1+\frac{\frac{R_2\cdot R_3\cdot R_4}{R_3\cdot R_4+R_2\cdot R_4+R_2\cdot R_3}}{R_1}+\frac{r_w}{R_1}\right)$  

$\mathcal{E}=\frac{Q}{C}\cdot \left(1+\frac{R_2\cdot R_3\cdot R_4}{R_1\cdot \left(R_3\cdot R_4+R_2\cdot R_4+R_2\cdot R_3\right)}+\frac{r_w}{R_1}\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\mathcal{E}=\frac{25\cdot {10}^{-6}\text{C}}{5\cdot {10}^{-6}F}\cdot \left(1+\frac{300\Omega \cdot 200\Omega \cdot 600\Omega }{50,5\Omega \cdot \left(200\Omega \cdot 600\Omega +300\Omega \cdot 600\Omega +300\Omega \cdot 200\Omega \right)}+\frac{1\Omega }{50,5\Omega }\right)\approx$   

$\approx 5\frac{C}{F}\cdot \left(1+\frac{36000000{\Omega }^3}{50,5\Omega \cdot \left(120000{\Omega }^2+180000{\Omega }^2+60000{\Omega }^2\right)}+0,02\right)=$  

$=5V\cdot \left(1+\frac{36000000{\Omega }^3}{50,5\Omega \cdot 360000{\Omega }^2}+0,02\right)=$  

$=5V\cdot \left(1+\frac{36000000{\Omega }^3}{18180000{\Omega }^3}+0,02\right)\approx$  

$\approx 5V\cdot \left(1+1,98+0,2\right)=5V\cdot 3=15V$