$\mathbf{a})$  

Dane:

$R=1\Omega$

$U=2\text{V}$

Szukane:

$I_{\text{AB}}=?$

$U_{\text{AB}}=?$

$I_1=?$

$U_1=?$

$I_2=?$

$U_2=?$

$I_3=?$

$U_3=?$

Rozwiązanie:

Początkowe natężenie i napięcie pomiędzy punktami A i B.

Naszym pierwszym zadaniem jest wyznaczenie napięcia i natężenia prądu pomiędzy punktami AB. W kolejnym kroku wyznaczymy natężenia i napięcia pomiędzy tymi punktami po dołączeniu dodatkowego opornika. 

Na początku mamy układ, w którym możemy dołączyć woltomierze pomiędzy poszczególnymi punktami obwodu:

gdzie:

$A$ - węzeł w obwodzie, 

$B$ - węzeł w obwodzie, 

$C$ - węzeł w obwodzie, który został pomocniczo dodany w rozważaniach nad tym układem,

$U$ - napięcie prądu na całym obwodzie, 

$U_{\text{AB}}$ - napięcie pomiędzy punktami AB, 

$U_{\text{BC}}$ - napięcie pomiędzy punktami BC,

$R$ - opór każdego z oporników w obwodzie,

$I$ - natężenie prądu płynącego przez obwód.

Ponieważ oporniki w obwodzie połączone są ze sobą szeregowo to oznacza, że natężenie prądu płynącego przez cały obwód jest takie samo, jak natężenie prądu płynącego pomiędzy punktami AB. 

Napięcie na całym obwodzie będzie równe sumie napięć na poszczególnych opornikach, czyli:

$U=U_{\text{AB}}+U_{\text{BC}}$

Korzystając z prawa Ohma możemy zapisać, że napięcie na całym obwodzie będzie wynosiło:

$U=R_{z}I$

gdzie:

$R_z$ - opór zastępczy na całym obwodzie. 

Skoro oporniki połączone są szeregowo to opór zastępczy będzie sumą tych oporów, czyli:

$R_z=R+R$

$R_z=2R$

Oznacza to, że natężenie prądu płynącego w całym obwodzie przedstawić możemy wzorem:

$R_{z}I=U|:R_z$

$I=\frac{U}{R_z}$

$I=\frac{U}{2R}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I=\frac{2\text{V}}{2\cdot 1\Omega }=1\frac{\text{V}}{\Omega }=1\text{A}$

Napięcie prądu pomiędzy punktami BC zgodnie z prawem Ohma możemy przedstawić wzorem:

$U_{\text{BC}}=RI$

Wówczas napięcie prądu pomiędzy punktami AB przedstawimy wzorem:

$U_{\text{AB}}+U_{\text{BC}}=U|-U_{\text{BC}}$

$U_{\text{AB}}=U-U_{\text{BC}}$

$U_{\text{AB}}=U-RI$

$U_{\text{AB}}=U-\cancel{R}\cdot \frac{U}{2\cancel{R}}$

$U_{\text{AB}}=U-\frac{U}{2}$

$U_{\text{AB}}=\frac{U}{2}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U=\frac{2\text{V}}{2}=1\text{V}$

Dołączenie opornika.

Następnie do układu pomiędzy punktami A i B dołączono dodatkowy opornik. Oznacza to, że jest on równoległy z opornikiem pomiędzy punktami AB. Otrzymamy wówczas układ:

gdzie:

$R_d$ - dodatkowy opór dołączony do układu. 

Wyznaczmy opór zastępczy układu dla jego obecnej formy. Opór zastępczy oporników pomiędzy punktami A i B będzie oporem zastępczym opornika, który był już w układzie i połączonego z nim opornika dołączonego do układu. Zatem otrzymamy, że opór pomiędzy tymi punktami będzie miał postać:

$\frac{1}{R_{\text{AB}}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R_d}$

gdzie:

$R_{\text{AB}}$ - opór zastępczy pomiędzy punktami A i B. 

Oznacza to, że opór pomiędzy punktami A i B będzie miał postać:

$\frac{1}{R_{\text{AB}}}=\frac{1}{R}+\frac{1}{R_d}$

$\frac{1}{R_{\text{AB}}}=\frac{R_d}{R{R}_d}+\frac{R}{R{R}_d}$

$\frac{1}{R_{\text{AB}}}=\frac{R_d+R}{R{R}_d}$

Odwracamy ułamek:

$R_{\text{AB}}=\frac{R{R}_d}{R_d+R}$

Układ oporników pomiędzy punktami A i B jest połączony szeregowo z opornikiem pomiędzy punktami B i C. Oznacza to, że opór zastępczy całego układu będzie wówczas wynosił:

$R_z=R_{\text{AB}}+R$

$R_z=\frac{R{R}_d}{R_d+R}+R$

$R_z=\frac{R{R}_d}{R_d+R}+\frac{R\left(R_d+R\right)}{R_d+R}$

$R_z=\frac{R{R}_d}{R_d+R}+\frac{R{R}_d+R^2}{R_d+R}$

$R_z=\frac{2R{R}_d+R^2}{R_d+R}$

W takim wypadu natężenie prądu płynącego przez cały układ możemy ogólnie przedstawić wzorem:

$I=\frac{U}{R_z}$

$I=\frac{U}{\frac{2R{R}_d+R^2}{R_d+R}}$

$I=\frac{R_d+R}{2R{R}_d+R^2}\cdot U$

Napięcie pomiędzy punktami A i B będzie wynosiło:

$U_{AB}+U_{BC}=U|-U_{\text{BC}}$

$U_{\text{AB}}=U-U_{BC}$

$U_{\text{AB}}=U-RI$

$U_{\text{AB}}=U-R\cdot \frac{R_d+R}{2R{R}_d+R^2}\cdot U$

$U_{\text{AB}}=\left(1-\frac{R\left(R_d+R\right)}{2R{R}_d+R^2}\right)U$

$U_{\text{AB}}=\left(1-\frac{\cancel{R}\left(R_d+R\right)}{\cancel{R}\left(2R_d+R\right)}\right)U$

$U_{\text{AB}}=\left(1-\frac{R_d+R}{2R_d+R}\right)U$

Rozważmy teraz kolejno każdy, z trzech podanych przypadków dla dołączonego oporu. 

▶ Przypadek 1: 

Dołączony wówczas opór wynosi:

$R_d=0,1R$

Natężenie prądu płynącego w obwodzie wynosi wówczas:

$I_1=\frac{R_d+R}{2R{R}_d+R^2}\cdot U$

$I_1=\frac{0,1R+R}{2R\cdot 0,1R+R^2}\cdot U$

$I_1=\frac{1,1R}{0,2R^2+R^2}\cdot U$

$I_1=\frac{1,1\cancel{R}}{1,2R^{\cancel{2}}}\cdot U$

$I_1=\frac{11}{12}\frac{U}{R}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_1=\frac{11}{12}\cdot \frac{2\text{V}}{1\Omega }\approx 0,9167\cdot 2\frac{\text{V}}{\Omega }=$

$=1,8334\text{A}\approx 1,83\text{A}$

Napięcie pomiędzy punktami A i B przedstawimy wzorem:

$U_1=\left(1-\frac{R_d+R}{2R_d+R}\right)U$

$U_1=\left(1-\frac{0,1R+R}{2\cdot 0,1R+R}\right)U$

$U_1=\left(1-\frac{1,1R}{0,2R+R}\right)U$

$U_1=\left(1-\frac{1,1\cancel{R}}{1,2\cancel{R}}\right)U$

$U_1=\left(1-\frac{11}{12}\right)U$

$U_1=\frac{1}{12}U$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U_1=\frac{1}{12}\cdot 2\text{V}\approx 0,0833\cdot 2\text{V}=$

$=0,1666\text{V}\approx 0,17\text{V}$

▶ Przypadek 2: 

Dołączony wówczas opór wynosi:

$R_d=10R$

Natężenie prądu płynącego w obwodzie wynosi wówczas:

$I_2=\frac{R_d+R}{2R{R}_d+R^2}\cdot U$

$I_2=\frac{10R+R}{2R\cdot 10R+R^2}\cdot U$

$I_2=\frac{11R}{20R^2+R^2}\cdot U$

$I_2=\frac{11\cancel{R}}{21R^{\cancel{2}}}\cdot U$

$I_2=\frac{11}{21}\frac{U}{R}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_2=\frac{11}{21}\cdot \frac{2\text{V}}{1\Omega }\approx 0,5238\cdot 2\frac{\text{V}}{\Omega }=$

$=1,0476\text{A}\approx 1,05\text{A}$

Napięcie pomiędzy punktami A i B dla tego przypadku przedstawimy wzorem:

$U_2=\left(1-\frac{R_d+R}{2R_d+R}\right)\cdot U$

$U_2=\left(1-\frac{10R+R}{2\cdot 10R+R}\right)\cdot U$

$U_2=\left(1-\frac{11R}{20R+R}\right)\cdot U$

$U_2=\left(1-\frac{11\cancel{R}}{21\cancel{R}}\right)\cdot U$

$U_2=\left(1-\frac{11}{21}\right)\cdot U$

$U_2=\frac{10}{21}U$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U_2=\frac{10}{21}\cdot 2\text{V}\approx 0,47619\cdot 2\text{V}=$

$=0,95238\text{V}\approx 0,95\text{V}$

 ▶ Przypadek 3: 

Dołączony wówczas opór wynosi:

$R_d=100R$

Natężenie prądu płynącego w obwodzie wynosi wówczas:

$I_3=\frac{R_d+R}{2R{R}_d+R^2}\cdot U$

$I_3=\frac{100R+R}{2R\cdot 100R+R^2}\cdot U$

$I_3=\frac{101R}{200R^2+R^2}\cdot U$

$I_3=\frac{101\cancel{R}}{201R^{\cancel{2}}}\cdot U$

$I_3=\frac{101}{201}\frac{U}{R}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_3=\frac{101}{201}\cdot \frac{2\text{V}}{1\Omega }\approx 0,50249\cdot 2\frac{\text{V}}{\Omega }=$

$=1,00498\text{A}\approx 1,0\text{A}$

Napięcie pomiędzy punktami A i B przedstawimy wzorem:

$U_3=\left(1-\frac{R_d+R}{2R_d+R}\right)U$

$U_3=\left(1-\frac{100R+R}{2\cdot 100R+R}\right)U$

$U_3=\left(1-\frac{101R}{200R+R}\right)U$

$U_3=\left(1-\frac{101\cancel{R}}{201\cancel{R}}\right)U$

$U_3=\left(1-\frac{101}{201}\right)U$

$U_3=\frac{100}{201}U$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U_3=\frac{100}{201}\cdot 2\text{V}\approx 0,4957\cdot 2\text{V}=$

$=0,9914\text{V}\approx 1\text{V}$

 Odpowiedź: Początkowo natężenie prądu w obwodzie będzie wynosiło 1 A. Napięcie pomiędzy punktami AB będzie wynosiło 1 V.

W pierwszym przypadku po dołączeniu oporu natężenie prądu płynącego wynosiło około 1,83 A, a napięcie pomiędzy punktami A i B wynosiło około 0,17 V.

W drugim przypadku po dołączeniu oporu natężenie prądu płynącego wynosiło około 1,05 A, a napięcie pomiędzy punktami A i B wynosiło około 0,95 V.

W trzecim przypadku po dołączeniu oporu natężenie prądu płynącego wynosiło około 1 A, a napięcie pomiędzy punktami A i B wynosiło wówczas około 1 V. 

 

$\mathbf{b})$  

Woltomierz dołączony równolegle do odbiornika, powinien mieć możliwie duży, aby jego podłączenie do końców odbiornika (punkty AB) nie powodowało zmniejszenia natężenia prądu płynącego przez ten odbiornik.