$\mathbf{a})$

 Uzasadnienie: 

W treści zadania mamy podane:

▶ napięcie elektryczne przyłożone do lampek LED: $U=230\mathrm{V}$

▶ całkowity pobór mocy 20 lampek: $P=24\mathrm{W}$

Zakładamy, że lampki się identyczne, zatem ich opór elektryczny jest taki sam. Zadaniem naszym jest porównanie natężenia prądu płynącego przez 20 lampek oraz 18 lampek. W pierwszej kolejności skupmy się na 20 lampkach. Wiemy, że moc prądu elektrycznego (urządzenia elektrycznego) obliczamy korzystając ze wzoru:

$P=UI$

gdzie:

$P$ - moc prądu elektrycznego,

$U$ - napięcie elektryczne,

$I$ - natężenie prądu elektrycznego.

Jednocześnie opór elektryczny opisujemy wzorem:

$R=\frac{U}{I}$

gdzie:

$R$ - opór elektryczny,

$U$ - napięcie elektryczne,

$I$ - natężenie prądu.

Przekształcamy powyższy wzór:

$R=\frac{U}{I}|\cdot I$

$R\cdot I=U|:R$

$I=\frac{U}{R}$

Wracamy do wzoru na moc:

$P=U\cdot I$

$P=U\cdot \frac{U}{R}$

$P=\frac{U^2}{R}$

Wówczas:

$P=\frac{U^2}{R}|\cdot R$

$P\cdot R=U^2|:P$

$R=\frac{U^2}{P}$

Wprowadzamy dane i obliczamy opór 20 diod LED:

$R_{20}=\frac{(230\mathrm{V}{)}^2}{24\mathrm{W}}=\frac{52900{\mathrm{V}}^2}{24\mathrm{W}}=\frac{52900}{24}\frac{V^{{\xcancel{2}}^1}}{\xcancel{\mathrm{V}}\cdot \mathrm{A}}\approx 2200\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}=2200\mathrm{\Omega }$

Wówczas natężenie płynące przez 20 diod LED wynosi:

$I_{20}=\frac{U}{R_{20}}$

$I_{20}=\frac{230\mathrm{V}}{2200\mathrm{\Omega }}=\frac{230}{2200}\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\Omega }}\approx 0,105\mathrm{A}$

W tekście powiedziane jest, że diody są połączone szeregowo, zatem całkowity opór układu jest równy sumie oporów każdej z diod:

$R_n=nR$

gdzie:

$R_n$ - opór $n$ połączonych szeregowo diod,

$n$ - ilość diod,

$R$  - opór elektryczny jednej diody LED.

Natomiast wzór na opór jednej diody przyjmuję postać:

$R=\frac{R_n}{R}$

Wówczas opór jednej diody w połączonych szeregowo 20 diodach wynosi:

$R=\frac{R_{20}}{20}$

$R=\frac{2200\mathrm{\Omega }}{20}=110\mathrm{\Omega }$

Zatem opór 18 połączonych szeregowo diod opisuje wzór:

$R_{18}=18\cdot R$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$R_{18}=18\cdot 110\mathrm{\Omega }=1980\mathrm{\Omega }$

Napięcie do 18 diod jest takie samo jak napięcie jakie zostało przyłożone do 20 diod. Zatem wzór na natężenie płynące przez 18 diod przyjmuję postać:

$I_{18}=\frac{U}{R_{18}}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$I_{18}=\frac{230\mathrm{V}}{1980\mathrm{\Omega }}=\frac{230}{1980}\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\Omega }}\approx 0,116\mathrm{A}$

Widzimy, że natężenie płynące przez diody wzrosło, a co za tym idzie, diody mogą świecić mocniej.

 Odpowiedź: 

Zmniejszyła się ilość lampek, czyli zmniejszył się opór obwodu. Ponieważ opór jest odwrotnie proporcjonalny do natężenia płynącego prądu to jeżeli opór się zmniejszył to natężenie wzrosło. Skoro natężenie wzrosło to lampki świecą mocniej.

 

$\mathbf{b})$

Ponieważ przez obwód może popłynąć zbyt duże natężenie prądu i układ ulegnie przepaleniu. Co więcej, duże natężenie prądu i niewłaściwa izolacja może skutkować porażeniem prądu osoby, która dotknie takich lampek choinkowy, a co gorsza, niewłaściwa izolacja może prowadzić do zwarcia, które spowoduje pożar.