DŁUGOŚĆ FALI DE BROGLIE'A CZĄSTKI SWOBODNEJ $\lambda =\frac{h}{mv}$ gdzie: $\lambda$ - długość fali materii, $h$ - stała Plancka, $m$ - masa cząstki, $v$ - wartość prędkości cząstki.

Zatem długość fali stowarzyszonej z daną cząstką jest odwrotnie proporcjonalna do masy i prędkości tej cząstki.    

 

$\mathbf{a})$

 Uzasadnienie: 

Jeśli cząstki poruszają się z tą samą prędkością, to cząstce o większej masie przypiszemy krótszą falę. Korzystając z wzoru na długość fali możemy wyznaczyć wzór na masę:

Korzystając z tabeli 2 na stronie 329 odczytujemy, że masy poszczególnych cząstek wynoszą odpowiednio:

$m_{\text{proton}}=1,6726\cdot {10}^{-27}\text{kg}$  

$m_{\text{elektron}}=9,1094\cdot {10}^{-31}\text{kg}$  

Mamy więc, że:

$m_{\text{proton}}\text{>}{m}_{\text{elektron}}\text{| : }{m}_{\text{elektron}}$  

$\frac{m_{\text{proton}}}{m_{\text{elektron}}}\text{>}1$  

Następnie wyznaczamy stosunek długości fal dla poszczególnych cząstek zakładając, że prędkości są takie same:

$\frac{{\lambda }_{\text{elektron}}}{{\lambda }_{\text{proton}}}=\frac{\frac{h}{m_{\text{elektron}}v}}{\frac{h}{m_{\text{proton}}v}}$  

$\frac{{\lambda }_{\text{elektron}}}{{\lambda }_{\text{proton}}}=\frac{h}{m_{\text{elektron}}v}\cdot \frac{m_{\text{proton}}v}{h}$  

$\frac{{\lambda }_{\text{elektron}}}{{\lambda }_{\text{proton}}}=\frac{m_{\text{proton}}}{m_{\text{elektron}}}$  

Ponieważ:

$\frac{m_{\text{proton}}}{m_{\text{elektron}}}\text{>}1$

Otrzymujemy, że:

$\frac{{\lambda }_{\text{elektron}}}{{\lambda }_{\text{proton}}}\text{>}1\text{|}\cdot {\lambda }_{\text{proton}}$  

${\lambda }_{\text{elektron}}\text{>}{\lambda }_{\text{proton}}$  

Długość fali protonu będzie krótsza niż długość fali elektronu (zakładając tą samą prędkość poruszania się cząstki), ponieważ proton jest masywniejszy.

 Odpowiedź: 

Dłuższa fala materii powstaje:

A. w przypadku elektronu.

 

$\mathbf{b})$

 Uzasadnienie: 

Jeśli cząstki o tej samej masie poruszają się z różnymi prędkościami, to cząstce o większej prędkości przypiszemy krótszą falę. 

Wykonujemy analogiczne rozumowanie jednakże teraz zakładamy, że mamy cząstki o tej samej masie:

$m=m_1=m_2$  

Szybkości cząstek łączy zależność:

$v_1\text{>}{v}_2\text{| : }{v}_1$  

$\frac{v_1}{v_2}\text{>}1$  

Wyliczamy stosunek długości fal dla poszczególnych cząstek zakładając, że masy są takie same:

  $\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}=\frac{\frac{h}{m{v}_2}}{\frac{h}{m{v}_1}}$  

$\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}=\frac{h}{m{v}_2}\cdot \frac{m{v}_1}{h}$  

$\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}=\frac{v_1}{v_2}$  

Ponieważ:

$\frac{v_1}{v_2}\text{>}1$  

Otrzymujemy, że:

$\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\text{>}1\text{|}\cdot {\lambda }_1$  

${\lambda }_2\text{>}{\lambda }_1$  

Długość fali pierwszej cząstki będzie krótsza niż długość fali drugiej cząstki (zakładając tą samą masę cząstek), ponieważ pierwsza cząstka porusza się z większą prędkością.

 Odpowiedź: 

Większą długość fali będzie miała fala materii:

C. protonu wolniejszego.