TREŚĆ:

Zadanie 1.

Z wysokości $h_1=5,0\text{m}$ ponad punktem $P$ rzucono kulkę ${\text{K}}_1$. Kulka upadła na poziome podłoże w odległości $d$ od punktu $P$ i potoczyła się dalej. Następnie z wysokości $h_2=2,0\text{m}$ ponad punktem $P$rzucono taką samą kulkę ${\text{K}}_2$. Druga kulka upadła także w odległości $d$ od punktu $P$. Prędkości początkowe ${\vec{v}}_{01}$ i ${\vec{v}}_{02}$ kulek w każdym rzucie miały kierunku poziome i leżały w tej samej płaszczyźnie. Na poniższym rysunku zilustrowano tory ruchu kulek w układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ - bez skali na osi $x$. Punkt $P$ jest początkiem tego układu współrzędnych.

W zadaniach 1.1.-1.2. pomiń opory ruchu oraz przyjmij do obliczeń, że przyspieszenie ziemskie ma wartość $g=9,8\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Zadanie 1.1.

Oblicz iloraz $\frac{v_{01}}{v_{02}}$ - wartości prędkości początkowej kulki ${\text{K}}_1$ i wartości prędkości początkowej kulki ${\text{K}}_2$. Wynik liczbowy podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących. 

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$h_1=5\text{m}$

$h_2=2\text{m}$

$g=9,8\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Szukane:

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie stosunku wartości prędkości początkowej kulki ${\text{K}}_1$ do wartości prędkości początkowej kulki ${\text{K}}_2$. Zauważmy, że każda z kulek została rzucona poziomo z pewnej wysokości $h$. Rzut poziomy jest ruchem złożonym:

• w kierunku poziomym ciało porusza się ruchem jednostajnym, ze stałą wartością prędkości,
• w kierunku pionowym ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym.

RZUT POZIOMY - SKŁADOWE PRĘDKOŚCI W czasie ruchu ciała rzuconego poziomo prędkość ciała ulega zmianie i jest wypadkową składowych: poziomej i pionowej. Szybkość początkowa, w kierunku poziomym odpowiada składowej poziomej prędkości tego ciała: $v_x=v_0$ gdzie: $v_x$ - wartość składowej poziomej prędkości ciała,  $v_0$ - wartość prędkości początkowej, z jaką wyrzucono ciało.  Natomiast składowa pionowa prędkości zmienia się ze względu na przyspieszenie ziemskie, czyli ma wartość: $v_y=gt$ gdzie: $v_y$ - wartość składowej pionowej prędkości ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,  $t$ - czas ruchu ciała.

Zauważmy, że każda z kulek przebywa taką samą odległość $d$ w poziomie — oznacza to, że zasięg każdego rzutu wynosi $d$.

RZUT POZIOMY - ZASIĘG RZUTU Zasięg rzutu poziomego możemy obliczyć, korzystając ze wzoru: $z=v_{0}t$ gdzie: $z$ - zasięg rzutu,  $v_0$ - wartość prędkości początkowej, z jaką wyrzucono ciało, $t$ - całkowity czas ruchu.

Zapiszemy więc:

▶ Wzór na zasięg rzutu kulki ${\text{K}}_1$

$d=v_{01}{t}_1$

▶ Wzór na zasięg rzutu kulki ${\text{K}}_2$

$d=v_{02}{t}_2$

Możemy zapisać więc:

$v_{01}{t}_1=v_{02}{t}_2|:v_{02}$

$\frac{v_{01}}{v_{02}}{t}_1=t_2|:t_1$

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\frac{t_2}{t_1}$

Do wyznaczenia szukanego ilorazu wartości prędkości początkowych kulek musimy wyznaczyć wzory (lub wartości) czasów ruchu kulek. Powiedzieliśmy, że kulki w kierunku pionowym poruszają się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Wartość tego przyspieszenia jest równa wartości przyspieszenia ziemskiego:

$a=g$

Wartość prędkości początkowej w kierunku pionowym jest równa zero, zatem w kierunku pionowym ciało spada swobodnie.

RZUT POZIOMY - WYSOKOŚĆ POCZĄTKOWA Wysokość nad poziomem przyjętym za początkowy, z jakiej spada ciało w rzucie poziomym, przedstawiamy zależnością: $h=\frac{1}{2}g{t}^2$ gdzie: $h$ - wysokość, z jakiej spada ciało,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,  $t$ - całkowity czas spadku tego ciała.

Przekształcamy powyższą zależność:

$\frac{1}{2}g{t}^2=h|\cdot 2$

$g{t}^2=2h|:g$

$t^2=\frac{2h}{g}|\sqrt{}$

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Wówczas:

▶ Wzór na czas ruchu kulki ${\text{K}}_1$

$t_1=\sqrt{\frac{2h_1}{g}}$

▶ Wzór na czas ruchu kulki ${\text{K}}_2$

$t_2=\sqrt{\frac{2h_2}{g}}$

Wracamy do wzoru na iloraz wartości prędkości początkowej:

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\frac{t_2}{t_1}$

Podstawiamy wzory na czasy ruchu:

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\frac{\sqrt{\frac{2h_2}{g}}}{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}}$

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\sqrt{\frac{2h_2}{g}}\cdot \sqrt{\frac{g}{2h_1}}$

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\sqrt{\frac{\cancel{2}{h}_2}{\xcancel{g}}\cdot \frac{\xcancel{g}}{\cancel{2}{h}_1}}$

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$

Podstawiamy dane do wzoru:

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=\sqrt{\frac{2\text{m}}{5\text{m}}}=\sqrt{0,4}\approx 0,63246$

Wynik zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących:

$\frac{v_{01}}{v_{02}}=0,63246\approx 0,63$

Odpowiedź: Iloraz wartości prędkości początkowej kulki ${\text{K}}_1$ i wartości prędkości początkowej kulki ${\text{K}}_2$ wynosi około $0,63$.