$1.$  

 Uzasadnienie: 

Temperatura powietrza jest odwrotnie proporcjonalna go jego gęstości. Zatem im mniejsza temperatura tym większa gęstość. Im niżej znajdziemy się szybu tym temperatura powietrza będzie mniejsza, a zatem gęstość wzrasta. Gęstsze powietrze opada na dół. Zatem ruch powietrza będzie odbywał się w dół szybu.

 Odpowiedź: 

 

$2.$  

Dane:

$t{}_1=25^{\circ }\text{C}$, czyli $T_1=298\text{K}$  

$t_2=10^{\circ }\text{C}$, czyli $T_2=283\text{K}$

$d_1=1,20\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

Szukane:

$d_2=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie gęstości temperatury w niższej temperaturze. Ciśnienie w tym przypadku jest stałe. Dla przemiany izobarycznej gazu doskonałego zgodnie z prawem Gay - Lussaca prawdziwa jest równość:

$\frac{V}{T}=\text{const.}$

gdzie:

$V$ - objętość gazu, 

$T$ - temperatura gazu. 

Korzystając z definicji gęstości możemy zapisać, że objętość gazu w ogólnym przypadku ma postać:

$V=\frac{m}{d}$

gdzie:

$m$ - masa gazu, 

$d$ - gęstość gazu. 

Zauważmy, że masa gazu się nie zmieni. Natomiast przy stałym ciśnieniu objętość ulega zmianie wraz z temperaturą. Wówczas mamy:

$V_1=\frac{m}{d_1}$

$V_2=\frac{m}{d_2}$

Zatem z prawa Gay-Lussaca otrzymamy równanie:

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

$\frac{\frac{m}{d_1}}{T_1}=\frac{\frac{m}{d_2}}{T_2}$

$\frac{\cancel{m}}{d_1{T}_1}=\frac{\cancel{m}}{d_2{T}_2}$

Odwróćmy działanie:

$d_2{T}_2=d_1{T}_1|:T_2$

$d_2=d_1\cdot \frac{T_1}{T_2}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d_2=1,20\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot \frac{298\cancel{\text{K}}}{283\cancel{\text{K}}}\approx 1,20\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 1,053=$

$=1,2636\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\approx 1,26\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

Odpowiedź: Gęstość powietrza w temperaturze 10℃ wynosi około 1,26 kg/m³.

 

$3.$  

Dane:

$h=200\text{m}$

$d_{\text{szyb}}=1,3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

$d_{\text{p}}=1,2\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

$S=7{\text{m}}^2$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Szukane:

$p_{\text{szyb}}=?$

$p_{\text{at}}=?$

$F_w=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie ciśnienia słupa powietrza w szybie, ciśnienia słupa powietrza atmosferycznego na zewnątrz góry oraz wartości wypadkowej siły parcia powietrza działającą na zaporę z obu stron.

W ogólnym przypadku ciśnienie hydrostatyczne lub aerostatyczne na danej głębokości obliczamy korzystając z wzoru:

$p=dgh$

gdzie:

$p$ -  jest ciśnienie,

$d$ - gęstością cieczy lub gazu,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$h$ - wysoko słupa cieczy lub gazu (odpowiada głębokości, na jakiej rozważamy ciśnienie). 

Zatem ciśnienie słupa powietrza w szybie będzie miało postać:

$p_{\text{szyb}}=d_{\text{szyb}}gh$

gdzie:

$p_{\text{szyb}}$ - ciśnienie powietrza w szybie, 

$d_{\text{szyb}}$ - gęstość powietrza w szybie.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$p_{\text{szyb}}=1,3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^{\cancel{3}}}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 200\cancel{\text{m}}=2600\frac{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{{\text{m}}^2}=$

$=2600\frac{\text{N}}{{\text{m}}^2}=2600\text{Pa}$

Podobnie ciśnienie atmosferyczne słupa powietrza możemy przedstawić wzorem:

$p_{\text{at}}=d_{\text{p}}gh$

gdzie:

$p_{\text{at}}$ - ciśnienie atmosferyczne powietrza na zewnątrz góry, 

$d_{\text{p}}$ - ciśnienie powietrza na zewnątrz góry. 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$p_{\text{at}}=1,2\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 200\text{m}=$

$=2400\frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot {\text{s}}^2}=2400\text{Pa}$

Następnie wyznaczamy wartość wypadkowej siły parcia na zaporę w szybie. Wartość siły parcia możemy przedstawić wzorem:

$F_p=pS$

gdzie:

$F_p$ - wartość siły parcia, 

$p$ - ciśnienie wywierane na powierzchnię, 

$S$ - pole powierzchni, na które wywierane jest ciśnienie. 

Wartość siły parcia wywieranej na zaporę przez powietrze znajdujące się w szybie będzie miała postać:

$F_{\text{szyb}}=p_{\text{szyb}}S$

$F_{\text{szyb}}=d_{\text{szyb}}ghS$

gdzie:

$F_{\text{szyb}}$ - wartość siły parcia wywieranej na zaporę przez ciśnienie w szybie. 

Wartość siły parcia wywieranej przez atmosferę przy wylocie szybu przedstawić możemy wzorem:

$F_{\text{at}}=p_{\text{at}}S$

$F_{\text{at}}=d_{\text{p}}ghS$

gdzie:

$F_{\text{at}}$ - wartość siły parcia wywieranej na zaporę przez ciśnienie atmosferyczne. 

Siły parcia mają przeciwne zwroty, przy czym ciśnienie wewnątrz szybu jest większe. Wówczas wypadkowa siła parcia działająca na zaporę z obu stron będzie miała postać:

$F_w=F_{\text{szyb}}-F_{\text{at}}$

gdzie:

$F_w$ - wartość wypadkowej siły parcia działającej na zaporę.

Otrzymamy zatem wzór:

$F_w=d_{\text{szyb}}ghS-d_{\text{p}}ghS$

$F_w=\left(d_{\text{szyb}}-d_{\text{p}}\right)ghS$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F_w=\left(1,3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}-1,2\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\right)\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 200\text{m}\cdot 7{\text{m}}^2=$

$=0,1\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 200\text{m}\cdot 7{\text{m}}^2=$

$=1400\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=1400\text{N}$

Odpowiedź: Ciśnienie powietrza wewnątrz szybu wynosi 2600 Pa. Ciśnienie atmosferyczne na zewnątrz góry wynosi 2400 Pa. Wartość wypadkowej siły parcia działającej na zaporę wynosi 1400 N.