$1.$  

Naszym zadaniem jest naszkicowanie na wykresie 3 zależność wartości prędkości od czasu dla tego samego punktu drgającego. Wartość prędkości ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)$

gdzie: 

$v\left(t\right)$ - wartość prędkości ciała po zadanym czasie, 

$t$ - czas, 

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań,  

$\phi$ - faza ruchu.

Amplitudę i okres możemy odczytać z wykresu. Otrzymamy pośrednio częstość drgań. Musimy wyznaczyć fazę ruchu. Skorzystamy z zależności wychylenia od czasu. Wychylenie ciała w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$

gdzie: 

$x\left(t\right)$ - wychylenie ciała po zadanym czasie.

Częstość kołową drgań wyrażamy jako:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - częstość kołowa drgań,

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres drgań.

Z wykresu możemy odczytać, że:

$T=1,00\text{s}$

Zauważmy, że dla $x\left(t\right)=A$ czas wynosi $t=0,25\text{s}$. Wówczas faza ruchu będzie miała postać:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$

$\cancel{A}=\cancel{A}\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t+\phi \right)$

$\sin \left(\frac{2\pi }{1,00\cancel{\text{s}}}\cdot 0,25\cancel{\text{s}}+\phi \right)=1$

$\sin \left(0,5\pi +\phi \right)=1$

Wiemy, że $\sin \frac{\pi }{2}=1$. Wówczas:

$0,5\pi +\phi =\frac{\pi }{2}|-0,5\pi$

$\phi =\frac{\pi }{2}-0,5\pi$

$\phi =0,5\pi -0,5\pi$

$\phi =0$

Wówczas zależność współrzędnej prędkości od czasu będzie miała postać (pomijamy podstawowe jednostki SI):

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)$

$v\left(t\right)=A\cdot \frac{2\pi }{T}\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t+\phi \right)$

$v\left(t\right)=A\cdot \frac{2\pi }{1,00}\cdot \cos \left(\frac{2\pi }{1,00}\cdot 0,25+0\right)$

$v\left(t\right)=2\pi A\cos \left(0,5\pi \right)$

Przyjmijmy, że amplituda wynosiła $A=1\text{m}$(nie mamy określonego przedziału jednostki na osi pionowej przy wychyleniu). Wówczas:

$v\left(t\right)=2\pi \cos \left(0,5\pi \right)$

Wykonajmy wykres zależności współrzędnej prędkości od czasu:

 

$2.$  

Naszym zadaniem jest wykazanie, że na wykresie 2 krzywa A przedstawia zależność energii potencjalnej od czasu, a krzywa B przedstawia zależność energii kinetycznej od czasu. 

Wiemy, że gdy ciało znajduje się w maksymalnym wychyleniu to jego szybkość jest zerowa, czyli również jego energia kinetyczna jest wówczas zerowa. Skoro w czasie $t=0,25\text{s}$ wychylenie ciała było maksymalne, to w tym czasie jego energia kinetyczna jest zerowa.

Oznacza to, że krzywa B reprezentuje zależność energii kinetycznej od czasu. Wówczas krzywa A reprezentuje zależność energii potencjalnej od czasu. 

 

$3.$  

Z wykresu drugiego wynika, że energia zmienia się co 0,5 s. Z tego wynika, że:

$T=0,5\text{s}$