Dane:

$f=1\mathrm{Hz}$  

$r=20\mathrm{km}=20000\mathrm{m}=2\cdot {10}^4\mathrm{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała grawitacji: $G=6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{N}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}$,

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$.

Szukane:

$M=?$  

Rozwiązanie:

Materia nie oderwie się od gwiazdy, jeżeli siła grawitacji przyciągająca materię do gwiazdy będzie równoważyła siłę odśrodkową działającą na materię. 

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_{\text{g}}=\frac{GM{m}_{}}{r^2}$

gdzie:

$F_{\text{g}}$ - wartość siły grawitacji,

$G$  - stała grawitacji,

$M$ - masa gwiazdy,

$m$ - masa materii na powierzchni gwiazdy,

$r$  - odległość pomiędzy środkami tych mas, równa promieniowi gwiazdy.

Wartość siły odśrodkowej przedstawimy za pomocą wzoru:

$F_{od}=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie:

$F_{od}$ - wartość siły odśrodkowej,

$v$ - szybkość liniowa materii na powierzchni gwiazdy.

Z tego wynika, że minimalna masa gwiazdy będzie wynosiła:

$F_g=F_{od}$  

$G\frac{Mm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}\mid :m$  

$G\frac{M}{r^2}=\frac{v^2}{r}\mid \cdot r^2$  

$GM=v^{2}r\mid :G$  

$M=\frac{v^{2}r}{G}$  

Zależność szybkości liniowej od szybkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v=\omega r$  

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej.

Szybkość kątową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$\omega =2\pi f$  

gdzie:

$\pi$ - liczba π,

$f$ - częstotliwość.

Wówczas otrzymujemy, że:

$M=\frac{v^{2}r}{G}$  

$M=\frac{{\left(\omega r\right)}^{2}r}{G}$  

$M=\frac{{\omega }^2{r}^{2}r}{G}$  

$M=\frac{{\left(2\pi f\right)}^2{r}^3}{G}$

$M=\frac{4{\pi }^2{f}^2{r}^3}{G}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$M=\frac{4\cdot {3,14}^2\cdot {\left(1\mathrm{Hz}\right)}^2\cdot {\left(2\cdot {10}^4\mathrm{m}\right)}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}}=$  

$=\frac{4\cdot 9,8596\cdot 1{\mathrm{Hz}}^2\cdot 8\cdot {10}^{12}{\mathrm{m}}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\cancel{\mathrm{kg}}\cdot \frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot {\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{kg}}^{\cancel{2}}}}=$  

$=\frac{315,5072\cdot {10}^{12}{\mathrm{Hz}}^2\cdot {\mathrm{m}}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{s}}^2}}=$  

$=\frac{315,5072\cdot {10}^{12}{\left(\frac{1}{\mathrm{s}}\right)}^2\cdot {\mathrm{m}}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\mathrm{m}}^3}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \frac{1}{\mathrm{kg}}}=$  

$=\frac{315,5072\cdot {10}^{12}\cancel{\frac{{\mathrm{m}}^3}{{\mathrm{s}}^2}}}{6,67\cdot {10}^{-11}\cancel{\frac{{\mathrm{m}}^3}{{\mathrm{s}}^2}}\cdot \frac{1}{\mathrm{k}\mathrm{g}}}\approx$  

$\approx 47,302\cdot {10}^{12-\left(-11\right)}\mathrm{k}\mathrm{g}=$

$=47,302\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}=$  

$=4,7302\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}\approx 4,73\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}$

Odpowiedź: Aby materia nie oderwała się od gwiazdy, masa gwiazdy musi wynosić co najmniej około 4,73⋅10²⁴ kg.