Uzasadnienie: 

Naszym celem jest stwierdzenie jak mają się do siebie długości fal de Broglie'a dla protonu i cząstki alfa gdy poruszają się one z tą samą szybkością. W tym celu przyjrzyjmy się, od czego zależy długość fali de Broglie'a. Wiem, że jest ona dana wzorem:

${\lambda }_B=\frac{h}{p}$

gdzie:

${\lambda }_B$ - długość fali de Broglie'a,

$p$ - wartość pędu materii,

$h$ - stała Plancka.

Jak widzimy po prawej stronie wzoru powyżej mamy tylko jedną zmienną - wartość pędu. Wiemy, że wartość pędu ciała jest dana wzorem:

$p=mv$  

gdzie:

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Z polecenia wiemy, że obie cząstki mają taką samą prędkość. Podstawiając ich masy do wzoru powyżej otrzymujemy:

$p_p=m_p\cdot v$  

gdzie:

$p_p$ - wartość pędu protonu,

$m_p$ - masa spoczynkowa protonu.

$p_{\alpha }=m_{\alpha }\cdot v$  

gdzie:

$p_{\alpha }$ - wartość pędu cząstki alfa,

$m_{\alpha }$ - masa spoczynkowa cząstki alfa.

Wiemy, że cząstka alfa to jądro helu, czyli składa się z dwóch protonów i dwóch neutronów. Możemy to zapisać w ten sposób:

$m_{\alpha }=2\cdot m_n+2\cdot m_p$

Masa neutronu jest bardzo bliska masie protonu, więc przyjmując, że te masy są takie same nie popełniamy dużego błędu i możemy zapisać, że: 

$m_p\approx m_n$

Wówczas masę cząstki alfa możemy zapisać w ten sposób:

$m_{\alpha }\approx 2\cdot m_p+2\cdot m_p$  

$m_{\alpha }\approx 4\cdot m_p$  

Wówczas wartość pędu cząstki alfa będzie miała postać:

$p_{\alpha }=m_{\alpha }v$  

$p_{\alpha }=4m_{p}v$  

Korzystając z wyznaczonych wzorów na wartości pędów możemy wyznaczyć wzory na długości de Broglile'a dla obu cząstek. Zacznijmy od protonu:

${\lambda }_p=\frac{h}{p_p}$  

${\lambda }_p=\frac{h}{m_{p}v}$  

Natomiast długość fali de Broglie'a dla cząstki alga będzie wynosiła:

${\lambda }_{\alpha }=\frac{h}{p_{\alpha }}$  

${\lambda }_{\alpha }\approx \frac{h}{4\cdot m_{p}v}$  

${\lambda }_{\alpha }\approx \frac{1}{4}\cdot \frac{h}{m_{p}v}$  

Jak widzimy po prawej stronie równania mamy wzór na długość fali protonu, więc dokonujemy podstawienia i otrzymujemy:

${\lambda }_{\alpha }\approx \frac{1}{4}\cdot {\lambda }_p\mid \cdot 4$  

$4\cdot {\lambda }_{\alpha }\approx {\lambda }_p$  

${\lambda }_p\approx 4\cdot {\lambda }_{\alpha }$  

 Odpowiedź: 

Długości fal de Broglie'a odpowiadające protonowi i cząstce alfa spełniają zależność D. ${\lambda }_p\approx 4\cdot {\lambda }_{\alpha }$.