Dane:

$S=15{\text{cm}}^2=0,0015{\text{m}}^2=1,5\cdot 10^{-3}{\text{m}}^2$

$p_a=10^5\text{Pa}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała gazowa: $R=8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}$ .

 

$1.$

Naszym zadaniem jest wykazanie, że podczas sprężania gazu, jego temperatura nie zmieniała się. Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$pV=nRT$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu, 

$V$ - objętość gazu, 

$n$ - liczba moli gazu, 

$R$ - stała gazowa, 

$T$ - temperatura gazu doskonałego. 

Wiemy, że gaz był szczelnie zamknięty w cylindrze z tłokiem. Zatem jeżeli nie zmienia się temperatura to nie zmieni się również iloczyn:

$nRT=\text{const}$

W takim wypadku prawdą jest, że również:

$pV=\text{const}$

Ciśnienie gazu w cylindrze jest sumą ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia wywieranego przez zewnętrzną siłę działającą na tłok:

$p_{}=p_a+p_s$  

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu w cylindrze, 

$p_a$ - ciśnienie atmosferyczne, 

$p_s$ - ciśnienie wywierane przez siłę na cylinder. 

Ciśnienie wywierane przez siłę na cylinder informuje nas, jak duża jest wartość siły działającej na jednostkę powierzchni. Możemy je obliczyć za pomocą wzoru:

$p_s=\frac{F}{S}$

gdzie:

$F$ - wartość siły nacisku (parcia) działającej na powierzchnię,

$S$ - pole powierzchni, na którą działa ta siła. 

Objętość gazu w cylindrze obliczymy jako iloczyn pola powierzchni podstawy i wysokości cylindra, czyli:

$V=Sl$

gdzie:

$l$ - długość słupa gazu zamkniętego w cylindrze. 

Zatem w ogólnym przypadku iloczyn ciśnienia i objętości zależny od danych w zadaniu możemy przedstawić wzorem:

$pV=\left(p_a+p_s\right)Sl$

$pV=\left(p_a+\frac{F}{S}\right)Sl$

$pV=\left(p_{a}S+F\right)l$

Ponieważ w każdym punkcie mamy inną wartość siły i długości słupa gazu w cylindrze to musimy sprawdzić każdy z poddanych przypadków. Jeżeli w każdym z nich iloczyn ciśnienia i objętości będzie taki sam to wówczas oznacza, że w czasie sprężania gazu temperatura nie zmieniała się. 

Obliczmy iloczyn ciśnienia i objętości dla poszczególnych pomiarów:

▶ pomiar 1:

Mamy: 

$F_1=0\text{N}$

$l_1=30\text{cm}=0,3\text{m}$

Wówczas:

$p_1{V}_1=\left(p_{a}S+F_1\right)l_1$

$p_1{V}_1=\left(10^5\text{Pa}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}{\text{m}}^2+0\text{N}\right)\cdot 0,3\text{m}=$

$=\left(1,5\cdot 10^{5-3}\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2+0\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\right)\cdot 0,3\text{m}=$

$=1,5\cdot 10^2\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\cdot 0,3\text{m}=$

$=150\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\cdot 0,3\text{m}=45\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3$

▶ pomiar 2:

Mamy: 

$F_2=30\text{N}$

$l_2=25\text{cm}=0,25\text{m}$

Wówczas:

$p_2{V}_2=\left(p_{a}S+F_2\right)l_2$

$p_2{V}_2=\left(10^5\text{Pa}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}{\text{m}}^2+30\text{N}\right)\cdot 0,25\text{m}=$

$=\left(1,5\cdot 10^2\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2+30\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\right)\cdot 0,25\text{m}=$

$=\left(150\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2+30\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\right)\cdot 0,25\text{m}=$

$=180\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\cdot 0,25\text{m}=45\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3$

▶ pomiar 3:

Mamy: 

$F_3=75\text{N}$

$l_3=20\text{cm}=0,2\text{m}$

Wówczas:

$p_3{V}_3=\left(p_{a}S+F_3\right)l_3$

$p_3{V}_3=\left(10^5\text{Pa}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}{\text{m}}^2+75\text{N}\right)\cdot 0,2\text{m}=$

$=\left(1,5\cdot 10^2\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2+75\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\right)\cdot 0,2\text{m}=$

$=\left(150\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2+75\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\right)\cdot 0,2\text{m}=$

$=225\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\cdot 0,2\text{m}=45\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3$

▶ pomiar 4:

Mamy: 

$F_4=150\text{N}$

$l_4=15\text{cm}=0,15\text{m}$

Wówczas:

$p_4{V}_4=\left(p_{a}S+F_4\right)l_4$

$p_4{V}_4=\left(10^5\text{Pa}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}{\text{m}}^2+150\text{N}\right)\cdot 0,15\text{m}=$

$=\left(1,5\cdot 10^2\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2+150\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\right)\cdot 0,15\text{m}=$

$=\left(150\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2+150\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\right)\cdot 0,15\text{m}=$

$=300\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\cdot 0,15\text{m}=45\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3$

▶ pomiar 5:

Mamy: 

$F_5=300\text{N}$

$l_5=10\text{cm}=0,1\text{m}$

Wówczas:

$p_5{V}_5=\left(p_{a}S+F_5\right)l_5$

$p_5{V}_5=\left(10^5\text{Pa}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}{\text{m}}^2+300\text{N}\right)\cdot 0,1\text{m}=$

$=\left(1,5\cdot 10^2\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2+300\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\right)\cdot 0,1\text{m}=$

$=\left(150\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2+300\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\right)\cdot 0,1\text{m}=$

$=450\text{Pa}\cdot {\text{m}}^2\cdot 0,1\text{m}=45\text{Pa}\cdot {\text{m}}^3$

Otrzymaliśmy, że wszystkie iloczyny ciśnienia i objętości są takie same, czyli podczas sprężania gazu jego temperatura nie zmieniała się.

 

$2.$  

Dane w podpunkcie: 

$t=-20^{\circ }\text{C}$, czyli $T=253\text{K}$

Szukane:

$n=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie liczby moli gazu, gdy znamy już jego temperaturę. Korzystając z równania Clapeyrona oraz wybierając jeden z punktów pomiarowych (na przykład pomiar 1) obliczmy liczbę moli tego gazu:

$nRT=p_1{V}_1$

$nRT=\left(p_{a}S+F_1\right)l_1|:RT$

$n=\frac{\left(p_{a}S+F_1\right)l_1}{RT}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$n=\frac{\left(10^5\text{Pa}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}{\text{m}}^2+0\text{N}\right)\cdot 0,3\text{m}}{8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \cancel{\text{K}}}\cdot 253\cancel{\text{K}}}=$

$=\frac{10^5\frac{\text{J}}{\cancel{{\text{m}}^3}}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}\cancel{{\text{m}}^2}\cdot 0,3\cancel{\text{m}}}{2102,43\frac{\text{J}}{\text{mol}}}=$

$=\frac{0,45\cdot 10^2\text{J}}{2102,43\frac{\text{J}}{\text{mol}}}=\frac{45\cancel{\text{J}}}{2102,43\frac{\cancel{\text{J}}}{\text{mol}}}\approx$

$\approx 0,021\text{mol}$

Odpowiedź: Liczba moli gazu w naczyniu wynosiła około 0,021 mol.

 

$3.$  

UWAGA! Otrzymana w tym rozwiązaniu praca wykonana przez się działającą na tłok ma inną wartość niż podano w odpowiedziach do zadania, ze względu na przyjętą metodę szacowania.

Dane w podpunkcie: 

$l_p=30\text{cm}=0,3\text{m}$

$l_k=10\text{cm}=0,1\text{m}$

Szukane:

$W_a=?$

$W_F=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie pracy wykonanej przez siły parcia powietrza (ciśnienie atmosferyczne) działającej na tłok. Wiemy, że gaz w cylindrze utrzymywał stałą temperaturę, czyli była to przemiana izotermiczna. Wówczas pracę wykonaną nad gazem przez ciśnienie atmosferyczne możemy przedstawić wzorem:

$W_a=p_a\Delta V$

gdzie:

$W_a$ - praca wykonana przez siły parcia powietrza na tłok, 

$p_a$ - ciśnienie atmosferyczne, 

$\Delta V$ - zmiana objętości gazu. 

Zmianę objętości przedstawimy jako różnicę pomiędzy końcową i początkową objętością gazu w cylindrze:

$\Delta V=V_k-V_p$

gdzie:

$V_k$ - końcowa objętość gazu pod tłokiem, 

$V_p$ - początkowa objętość gazu pod tłokiem. 

Początkową objętość gazu przedstawimy wzorem:

$V_p=S{l}_p$

gdzie:

$l_p$ - początkowa długość słupa gazu w cylindrze.

Natomiast końcowa objętość gazu w cylindrze ma postać:

$V_k=S{l}_k$

gdzie:

$l_k$ - końcowa długość słupa gazu w cylindrze.

Wówczas praca wykonana przez siły parcia ma postać:

$W_a=p_a\Delta V$

$W_a=p_a\left(V_k-V_p\right)$

$W_a=p_a\left(S{l}_k-S{l}_p\right)$

$W_a=p_{a}S\left(l_k-l_p\right)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W_a=10^5\text{Pa}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}{\text{m}}^2\cdot \left(0,1\text{m}-0,3\text{m}\right)=$

$=10^5\frac{\text{J}}{\cancel{{\text{m}}^3}}\cdot 1,5\cdot 10^{-3}\cancel{{\text{m}}^2}\cdot \left(-0,2\cancel{\text{m}}\right)=$

$=-0,3\cdot 10^2\text{J}=-30\text{J}$

Znak minus świadczy o tym, że objętość gazu zmniejszała się, czyli to siła parcia atmosferycznego wykonywała nad nim pracę, której bezwzględna wartość wynosi:

$\left|W_a\right|=30\text{J}$

Następnie oszacujmy pracę wykonaną przez siłę działającą na tłok na tej drodze, czyli w przypadku gdy siła ma taki sam zwrot jak przemieszczenie otrzymamy:

$W_F=F\cdot s$

gdzie:

$W_F$ - praca wykonana przez siłę działającą na tłok, 

$F$ - wartość siły działającej na tłok,

$s$ - droga przebyta przez tłok. 

Zauważmy jednak, że w naszym przypadku siła zmienia się wraz z przebytą drogą. Kolejne drogi względem siły będą różnicą pomiędzy początkową długością słupa gazu w cylindrze, a odległością przypisaną w tabeli dla danej wartości siły:

$s_n=l_p-l_n$

Wówczas możemy zauważyć, że:

$F\left(\text{N}\right)$	$0$	$30$	$75$	$150$	$300$
$s\left(\text{cm}\right)$	$s_1=l_p-l_1$ $s_1=30-30$ $s_1=0$	$s_2=l_p-l_2$ $s_2=30-25$ $s_2=5$	$s_3=l_p-l_3$ $s_3=30-20$ $s_3=10$	$s_4=l_p-l_4$ $s_4=30-15$ $s_4=15$	$s_5=l_p-l_5$ $s_5=30-10$ $s_5=20$

Wykonajmy wykres zależności wartości siły od drogi. Zacznijmy od zaznaczenia punktów na wykresie:

Narysujmy krzywą od punktu początkowego do końcowego:

Pracę wykonaną przez siłę o wartości $F$ możemy oszacować licząc pole pod wykresem. Z wykresu wynika, że jedna kratka ma powierzchnię $1\text{cm}$ na $10\text{N}$, czyli odpowiada jednostce równej:

$W_0=10\text{N}\cdot 1\text{cm}=10\text{N}\cdot 0,01\text{m}=$

$=0,1\text{N}\cdot \text{m}=0,1\text{J}$

Oszacujmy liczbę kratek pod tym wykresem. Na niebiesko zamalujmy całe kratki, a innymi kolorami te, które znajdują się pod wykresem w części:

Zacznijmy od obliczenia liczby kratek w pełni znajdujących się pod wykresem - oznaczone kolorem niebieskim (na czerwono obok wykresu podano ich liczbę):

$4\cdot 1+3\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+5+2\cdot 6+7+2\cdot 8+9+10+11+12+13+14+16+18=$

$=\underset{28}{\underbrace{4+6+6+12}}+\underset{40}{\underbrace{5+12+7+16}}+\underset{42}{\underbrace{9+10+11+12}}+\underset{61}{\underbrace{13+14+16+18}}=$

$=28+40+42+61=171$

• Policzmy części kratek zacienione na szaro dopełniające się do całych kratek: $10$
• Policzmy części kratek zacienione na zielono dopełniające się do całych kratek: $2$
• Policzmy części kratek zacienione na różowo dopełniające się do całych kratek: $1$
• Policzmy części kratek zacienione na pomarańczowo dopełniające się do całych kratek: $3$
• Policzmy części kratek zacienione na brązowo dopełniające się do całych kratek: $6$

Otrzymaliśmy, że oszacowana łączna liczba kratek pod wykresem wynosi:

$171+10+2+1+3+6=193$

Wówczas praca wykonana przez siłę F wynosi w przybliżeniu:

$W_F\approx 193\cdot 0,1\text{J}=19,3\text{J}$

Odpowiedź: Praca wykonana przez siły parcia wywierane przez powietrze atmosferyczne wynosi 30 J. Oszacowana praca wykonana przez siłę działającą na tłok wynosi około 19,3 J.

 

$4.$  

 Uzasadnienie: 

Skoro temperatura gazu pozostawała stała to nie zmieniała się energia wewnętrzna gazu:

$\Delta U=0$

Zmniejszała się objętość gazu, czyli to siły zewnętrzne wykonywały nad gazem pracę i $W>0$.

Pierwsza zasada termodynamiki mówi nam, że zmiana energii wewnętrznej układu termodynamicznego jest równa sumie pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne i ciepła wymienionego z otoczeniem:

$\Delta U=W+Q$

gdzie:

$\Delta U$ - zmiana energii wewnętrznej układu,

$W$ - praca wykonana nad układem przez siły zewnętrzne,

$Q$ - ciepło dostarczone do ciała (pobrane z otoczenia przez układ).

Wówczas ciepło wymieniane z otoczeniem w tej przemianie wynosi:

$W+Q=\Delta U$

$W+Q=0|-W$

$Q=-W$

Znak minus świadczy o tym, że otrzymana wartość ciepła byłaby ujemna, czyli gaz oddawałby do otoczenia ciepło. 

 Odpowiedź: 

Energia wewnętrzna gazu C. pozostawała stała. Gaz ciepło 2. oddawał.