Rozważamy ruch windy, gdy wjeżdżała ona na taras widokowy pewnego wieżowca...- Zadanie Zadanie 1.1.: Egzamin maturalny Fizyka. Poziom rozszerzony 2021. Arkusz próbny

Rozwiązanie

TREŚĆ:

Zadanie 1.

Rozważamy ruch windy, gdy wjeżdżała ona na taras widokowy pewnego wieżowca. W chwili początkowej 𝑡₀ = 0 winda ruszyła z miejsca i przez pewien czas jechała do góry ze stałym przyśpieszeniem o wartości 0,80 m/s². Od chwili, gdy winda osiągnęła prędkość maksymalną o wartości 18 m/s, dalej poruszała się przez 9 s ruchem jednostajnym. Ostatni etap trasy winda jechała ruchem jednostajnie opóźnionym z przyśpieszeniem (potocznie – opóźnieniem) o wartości 0,80 m/s² – aż do zatrzymania się. W windzie stał człowiek o masie 75 kg. Przyjmij do obliczeń przyśpieszenie ziemskie 𝑔 = 9,8 m/s².

Zadanie 1.1.

Na poniższym diagramie współrzędnych narysuj wykres zależności F(t) – wartości F siły nacisku, z jaką człowiek działał na podłogę windy, od czasu t ruchu windy, podczas całego opisanego ruchu, licząc od chwili t₀. Wykonaj i zapisz odpowiednie obliczenia.

ROZWIĄZANIE:

W windzie jedzie człowiek o masie:

$m = 75 kg$

Przyjmujemy, że wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi:

$g = 9, 8 \frac{m}{s ^{2}}$

Ruch windy rozważamy na trzech etapach w układzie odniesienia związanym z Ziemią:

▶ etap 1: winda rusza z miejsca i porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym.

Czas początkowy: $t_{0} = 0 s$ .

Przyspieszenie windy: $a_{1} = 0, 80 \frac{m}{s ^{2}}$ .

Początkowa wartość prędkości windy: $v_{0} = 0$ .

Wartość prędkości maksymalnej osiągniętej przez windę: $v = 18 \frac{m}{s}$ .

Zacznijmy od wyznaczenia czasu ruchu windy na tym etapie. Zauważmy, że zmiana szybkości wynosi:

$Δ v_{1} = v - v_{0} = v - 0 = v$

Zmiana czasu na tym etapie wynosi:

$Δ t_{1} = t_{1} - t_{0} = t_{1} - 0 = t_{1}$

Wówczas zgodnie z definicją przyspieszenia czas ruchu będzie miał postać:

$a_{1} = \frac{Δ v _{1}}{Δ t _{1}}$

$a_{1} = \frac{v}{t _{1}} ∣ \cdot t_{1}$

$a_{1} t_{1} = v ∣ : a_{1}$

$t_{1} = \frac{v}{a _{1}}$

$t_{1} = \frac{18 \frac{m}{s}}{0 , 80 \frac{m}{s ^{2}}} = 22, 5 s$

Siła ciężkości człowieka jest skierowana pionowo i zwrócona w dół. Jej wartość wynosi:

$F_{g} = m g$

$F_{g} = 75 kg \cdot 9, 8 \frac{m}{s ^{2}} = 735 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} = 735 N$

Na człowieka znajdującego się w windzie działa siła bezwładności.

Skoro winda jedzie do góry ze stałym przyspieszeniem to siła bezwładności skierowana jest pionowo w dół (przeciwnie do przyspieszenia). Jej wartość wówczas wynosi:

$F_{b .1} = m a_{1}$

$F_{b .1} = 75 kg \cdot 0, 8 \frac{m}{s ^{2}} = 60 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} = 60 N$

Siła nacisku człowieka działającego na podłogę windy jest wypadkową ciężaru i siły bezwładności, czyli skoro obie siły mają ten sam kierunek i zwrot to wynosi:

$F_{N .1} = F_{g} + F_{b .1}$

$F_{N .1} = 735 N + 60 N = 795 N$

Oznacza to, że od 0 s do 22,5 s ruchu człowiek działa na podłoże ze stałą siłą równą 795 N.

▶ etap 2: winda porusza się ruchem jednostajnym z maksymalną szybkością.

Szybkość z jaką porusza się winda: $v = 18 \frac{m}{s}$ .

Czas ruchu windy na tym etapie: $Δ t_{2} = 9 s$ .

Zauważmy, że przedział czasu ruchu windy na tym etapie możemy zapisać jako:

$Δ t_{2} = t_{2} - t_{1}$

Wówczas czas od początku ruchu do końca drugiego etapu będzie wynosił:

$t_{2} - t_{1} = Δ t_{2} ∣ + t_{1}$

$t_{2} = Δ t_{2} + t_{1}$

$t_{2} = 9 s + 22, 5 s = 31, 5 s$

Winda poruszała się wówczas ze stałą szybkością, czyli siła nacisku odpowiada sile ciężkości człowieka:

$F_{N .2} = F_{g}$

$F_{N .2} = 735 N$

Oznacza to, że od 22,5 s do 31,5 s ruchu człowiek działa na podłoże ze stałą siłą równą 735 N.

▶ etap 3: winda hamuje ruchem opóźnionym, aż do zatrzymania się.

Opóźnienie windy: $a_{3} = 0, 80 \frac{m}{s ^{2}}$ .

Szybkość końcowa windy: $v_{k} = 0$ .

Zauważmy, że zmiana szybkości wynosi:

$Δ v_{3} = v_{k} - v = 0 - v = - v$

Zmiana czasu na tym etapie wynosi:

$Δ t_{3} = t_{3} - t_{2}$

Wówczas zgodnie z definicją przyspieszenia dla ruchu opóźnionego czas ruchu będzie miał postać:

$a_{3} = - \frac{Δ v _{3}}{Δ t _{3}}$

$a_{3} = - \frac{- v}{t _{3} - t _{2}} ∣ \cdot (t_{3} - t_{2})$

$a_{3} (t_{3} - t_{2}) = v ∣ : a_{3}$

$t_{3} - t_{2} = \frac{v}{a _{3}} ∣ + t_{2}$

$t_{3} = \frac{v}{a _{3}} + t_{2}$

$t_{3} = \frac{18 \frac{m}{s}}{0 , 80 \frac{m}{s ^{2}}} + 31, 5 s = 22, 5 s + 31, 5 s = 54 s$

Skoro winda jedzie do góry z opóźnieniem to siła bezwładności skierowana jest pionowo w górę (przeciwnie do opóźnienia). Jej wartość wówczas wynosi:

$F_{b .3} = m a_{3}$

$F_{b .3} = 75 kg \cdot 0, 8 \frac{m}{s ^{2}} = 60 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} = 60 N$

Siła nacisku człowieka działającego na podłogę windy jest wypadkową ciężaru i siły bezwładności, czyli skoro obie siły mają ten sam kierunek i przeciwne zwroty to wynosi:

$F_{N .3} = F_{g} - F_{b .3}$