Uwaga! Uzyskane w tym rozwiązaniu wyniki mogą się różnić z odpowiedziami podanymi na końcu zbioru zadań, ponieważ została przyjęta inna wartość przyspieszenia ziemskiego. Zauważmy, że w treści zadania nie została podana wartość, którą mamy przyjąć.

Dane:

$l=0,8\text{m}$

$\acute{s}r=0,4\text{m}$

$m=200\text{kg}$

$h=200\text{m}$

$d_{\text{w}}=1030\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$,

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$.

Szukane:

$W=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie pracy, jaką musi wykonać siła naciągu, aby przemieścić batyskaf w kierunku pionowym od punktu całkowitego zanurzenia do osiągnięcia głębokości $h$. Zauważmy, że w omawianym przykładzie rozważamy ruch batyskafu, w wyniku działania siły naciągu liny, w kierunku pionowym, czyli w tym samym kierunku, w którym działa siła. Pracę wykonaną przy przemieszczaniu ciała przy pomocy siły o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem przemieszczenia tego ciała wyrażamy jako:

$W=Fs$

gdzie:

$W$ - wykonana praca,

$F$ - wartość siły przyłożonej do ciała,

$s$ - droga przebyta przez ciało.

Jednak siła naciągu liny, która działa na batyskaf, jest zwrócona pionowo w górę, natomiast wektor przemieszczenia batyskafu jest zwrócony pionowo w dół. Wyciągamy więc wniosek, że wzór na pracę, jaką wykonuje siła naciągu, przyjmuję postać:

$W=-F_{N}s$

gdzie:

$F_N$ - siła naciągu liny,

$s$ - droga, jaką przebywa batyskaf.

Zgodnie z treścią zadania batyskaf z punktu całkowitego zanurzenia, czyli przy powierzchni, przemieszcza się aż do głębokości $h$. Oznacza to, że droga, jaką przebywa batyskaf, wynosi:

$s=h$

Teraz skupmy się na wyznaczeniu wzoru na wartość siły naciągu liny, gdzie wiemy, że siła naciągu liny jest zwrócona w górę.

Na batyskaf, który jest zanurzony w wodzie i podczepiony do liny, działają trzy siły:

• siła ciężkości ${\vec{F}}_g$ zwrócona pionowo w dół,
• siła wyporu wody ${\vec{F}}_w$ zwrócona pionowo w górę,
• siła naciągu liny ${\vec{F}}_N$ zwrócona pionowo w górę.

Batyskaf, zgodnie z treścią zadania, opuszczany został ruchem jednostajnym. Zgodnie z I zasadą dynamiki wiemy, że jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły się równoważą, to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym. Skoro więc na batyskaf działają trzy siły, oraz że porusza się on ruchem jednostajny, to zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, siły działające na batyskaf się równoważą. Zapiszemy warunek równoważenia się sił, uwzględniając ich zwroty:

$F_g=F_w+F_N$

Interesuje nas wzór na wartość siły naciągu liny, zatem przekształcamy powyższy wzór:

$F_w+F_N=F_g|-F_w$

$F_N=F_g-F_w$

Teraz przejdziemy do wyznaczenia wzorów na wartość siły ciężkości oraz wartość siły wyporu wody.

Wartość siły ciężkości opisuje wzór:

$F_g=mg$

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Natomiast wartość siły wyporu cieczy, która działa na zanurzone ciało, opisuje wzór:

$F_w=dgV$ 

gdzie: 

$F_w$ - wartość siły wyporu,

$d$ - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało,  

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,  

$V$ - objętość wypartej cieczy równa objętości części ciała zanurzonej w płynie. 

W rozważanym przez nas przypadku wzór ten przyjmie postać:

$F_w=d_{\text{w}}gV$

Zauważmy, że batyskaf jest całkowicie zanurzony w wodzie, oraz że ma kształt walca. Objętość walca opisuje wzór:

$V=\pi r^{2}h$

gdzie:

$V$ - objętość walca,

$\pi$ - liczba pi,

$r$ - promień podstawy walca,

$h$ - wysokość walca.

W treści zadania mamy podaną długość (wysokość) walca $l$ oraz średnicę podstawy, która związana jest z promieniem zależnością:

$\acute{s}r=2r$

gdzie:

$\acute{s}r$ - średnica walca,

$r$ - promień walca.

Przekształcamy powyższą zależność:

$2r=\acute{s}r|:2$

$r=\frac{\acute{s}r}{2}$

Wracamy do wzoru na objętość walca i zapisujemy wzór na objętość rozważanego batyskafu:

$V=\pi {\left(\frac{\acute{s}r}{2}\right)}^{2}l$

$V=\frac{\pi }{4}\acute{s}{r}^{2}l$

Wówczas wzór na wartość siły wyporu wody przyjmuje postać:

$F_w=d_{\text{w}}g\frac{\pi }{4}\acute{s}{r}^{2}l$

$F_w=\frac{\pi }{4}{d}_{\text{w}}g\acute{s}{r}^{2}l$

Wracamy do wzoru na wartość siły naciągu liny i podstawiamy wyznaczone wzory:

$F_N=F_g-F_w$

$F_N=mg-\frac{\pi }{4}{d}_{\text{w}}g\acute{s}{r}^{2}l$

$F_N=g\left(m-\frac{\pi }{4}{d}_{\text{w}}\acute{s}{r}^{2}l\right)$

Ostatecznie przechodzimy do wzoru na pracę, jaką wykonuje siła naciągu liny:

$W=-F_{N}h$

$W=-gh\left(m-\frac{\pi }{4}{d}_{\text{w}}\acute{s}{r}^{2}l\right)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru i obliczamy:

$W=-10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 200\text{m}\cdot \left(200\text{kg}-\frac{3,14}{4}\cdot 1030\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot {\left(0,4\text{m}\right)}^2\cdot 0,8\text{m}\right)=$

$=-10\cdot 200\cdot \left(200\text{kg}-\frac{3,14\cdot 1030\cdot 0,16\cdot 0,8}{4}\frac{\text{kg}}{\cancel{{\text{m}}^3}}\cdot \cancel{{\text{m}}^2}\cdot \cancel{\text{m}}\right)\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \text{m}=$

$=-2000\cdot \left(200\text{kg}-\frac{3234,2\cdot 0,128}{4}\text{kg}\right)\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \text{m=}$

$=-2000\cdot \left(200\text{kg}-\frac{413,9776}{4}\text{kg}\right)\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \text{m}=$

$\approx -2000\cdot \left(200\text{kg}-103,49\text{kg}\right)\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \text{m}=$

$=-2000\cdot 96,51\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \text{m}=$

$=-193020\text{N}\cdot \text{m}\approx -193\text{kJ}$

Odpowiedź: Siła naciągu musi wykonać pracę równą około $-193\text{kJ}$.