Dane:

$m=368\text{kg}$

$l=8\text{m}$

$k=86\%=0,86$

$d_{\text{w}}=1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

Szukane:

$S=\text{?}$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie pola przekroju poprzecznego dębowej belki, która w wyniku całkowitego zanurzenia w wodzie straciła (pozornie) $k$ procent swojego ciężaru. Zapiszemy więc:

$\frac{F_g^{\prime }}{F_g}=k$

gdzie:

$F_g^{\prime }$ - utracony (pozorny) ciężar belki po całkowitym jej zanurzeniu w wodzie,

$F_g$ - ciężar belki przed zanurzeniem jej w wodzie,

$k$ - wartość stosunku tych dwóch ciężarów.

Zauważmy, że ciężar ciała opisuje wzór:

$F_g=mg$

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Przekształcając zależność między utraconą wartością ciężaru belki po całkowitym zanurzeniu w wodzie a rzeczywistym ciężarem belki, otrzymamy:

$\frac{F_g^{\prime }}{F_g}=k|\cdot F_g$

$F_g^{\prime }=k{F}_g$

$F_g^{\prime }=kmg$

Teraz zastanówmy się, w wyniku czego belka mogła utracić swój (pozorny) ciężar.

Zauważmy, że na każde ciało zanurzone (całkowicie lub częściowo) w cieczy działa siła wyporu cieczy ${\vec{F}}_w$. Siła ta jest zwrócona pionowo w górę, natomiast siła ciężkości ${\vec{F}}_g$ działająca na zanurzone ciało jest zwrócona pionowo w dół. Widzimy więc, że na zanurzone ciało działają dwie siły, których kierunek jest taki sam. Jednak zwroty tych sił są przeciwne. Wyciągamy więc wniosek, że belka mogła utracić swój ciężar jedynie w wyniku działania siły wyporu wody. Zapiszemy więc, że wartość utraconego ciężaru belki jest równa wartości siły wyporu wody, która działa na belkę w wodzie:

$F_g^{\prime }=F_w$

Siła wyporu działająca na ciało zanurzone w cieczy jest skierowana pionowo do góry – przeciwnie do ciężaru. Wartość siły wyporu jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało:

$F_w=dgV$ 

gdzie: 

$F_w$ - wartość siły wyporu,

$d$ - gęstość cieczy, w której znajduje się ciało,  

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,  

$V$ - objętość wypartej cieczy równa objętości części ciała zanurzonej w płynie. 

Belka jest całkowicie zanurzona w wodzie, zatem objętość wypartej wody odpowiada objętości tej belki. Objętość belki możemy opisać wzorem

$V=lS$

gdzie:

$V$ - objętość całkowita belki,

$l$ - długość belki,

$S$ - pole przekroju poprzecznego belki.

Wracamy do równości wartości utraconego ciężaru oraz wartości  siły wyporu wody:

$F_g^{\prime }=F_w$

Podstawiamy wyznaczone wzory:

$kmg=d_{\text{w}}gV$

$kmg=d_{\text{w}}glS|:g$

$km=d_{\text{w}}lS|:d_{\text{w}}l$

$\frac{km}{d_{\text{w}}l}=S$

$S=\frac{km}{d_{\text{w}}l}$

Podstawiamy dane  i obliczamy:

$S=\frac{0,86\cdot 368\text{kg}}{1000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 8\text{m}}=$

$=\frac{316,48\text{kg}}{8000\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^{{\xcancel{3}}^2}}\cdot \xcancel{\text{m}}}=$

$=\frac{316,48}{8000}\frac{\text{kg}}{\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^2}}=$

$\approx 0,03956\cancel{\text{kg}}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{\cancel{\text{kg}}}\approx 0,0396{\text{m}}^2$

Odpowiedź: Pole przekroju poprzecznego belki wynosi około $0,0396{\text{m}}^2$.