Dane:

$L=0,1\text{m}={10}^{-1}\text{m}$  

$S=3{\text{mm}}^2=3\cdot {10}^{-6}{\text{m}}^2$  

$f_1=110\text{Hz}=1,1\cdot {10}^2\frac{1}{\text{s}}$  

$d=7700\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}=7,7\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$F=\text{?}$

Rozwiązanie:

Chcemy obliczyć wartość siły napinającej strunę, tak by drgała ona z odpowiednią częstotliwością. Rozpatrujemy częstotliwość drgań dla tonu podstawowego, zatem na strunie powstaje jedna strzałka.

Korzystamy z podanego wzoru i wyrażamy wartość prędkości fali powstającej na strunie.

$v=\sqrt{\frac{F}{\mu }}$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości fali na strunie,

$F$ - wartość siły naciągającej strunę,

$\mu$ - gęstość liniowa struny.

Chcemy wyznaczyć wartość siły naciągającej drut.

$v^2=\frac{F}{\mu }|\cdot \mu$

$v^2\mu =F$

$F=\mu v^2$

Wiemy, że:

DŁUGOŚĆ FALI Długość fali akustycznej możemy przedstawić wzorem: $\lambda =\frac{v}{f}$  gdzie: $\lambda$ - długość fali, $v$ - wartość prędkości, z jaką rozchodzi się fala, $f$ - częstotliwość rozchodzącej się fali.

Stąd:

$v=\lambda f$

$v^2={\lambda }^2{f}^2$

Wracamy do wzoru na wartość siły.

$F=\mu v^2$

$F=\mu {\lambda }^2{f}^2$

Musimy wyrazić długość fali powstającej na drucie.

FALA STOJĄCA - DŁUGOŚĆ FALI Wzór na długość fali stojącej w strunie możemy przedstawić wzorem: ${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$ gdzie: ${\lambda }_n$ - długość fali stojącej dla $n$-tej harmonicznej,  $L$ - długość struny,  $n$ - liczba naturalna (zaczynając od 1), dla $n=1$ mamy ton podstawowy, a dla $n>1$ mamy kolejne harmoniczne.

Przyjmujemy, że szukamy częstotliwości tonu podstawowego: $n=1$.

Stąd:

$\lambda =\frac{2L}{1}$

$\lambda =2L$

${\lambda }^2=4L^2$

Otrzymujemy:

$F=\mu {\lambda }^2{f}^2$

$F=\mu \cdot 4L^2{f}^2$

$F=4\mu L^2{f}^2$

Musimy wyrazić jeszcze gęstość liniową stalowego drutu.

$\mu =\frac{m}{L}$

gdzie:

$m$ - masa drutu.

Znamy gęstość stali.

GĘSTOŚĆ Korzystając, z definicji gęstości wiemy, że: $d=\frac{m}{V}$ gdzie: $d$ - gęstość ciała,  $m$ - masa ciała,  $V$ - objętość ciała.

Zatem:

$m=dV$

Objętość naszego drutu wyrazimy przy pomocy objętości walca.

$V=SL$

gdzie:

$S$ - pole przekroju poprzecznego.

Stąd:

$m=dSL$

Wracamy do gęstości liniowej:

$\mu =\frac{m}{L}$

$\mu =\frac{dS\cancel{L}}{\cancel{L}}$

$\mu =dS$

Wzór na wartość siły przyjmuje postać:

$F=4dS{L}^2{f}^2$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F=4\cdot 7,7\cdot 10^3\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}\cdot 3\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^2\cdot {\left(0,1\mathrm{m}\right)}^2\cdot {\left(1,1\cdot 10^2\mathrm{Hz}\right)}^2=$

$=92,4\cdot 10^{-3}\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}\cdot 0,01{\mathrm{m}}^2\cdot 1,21\cdot 10^4\frac{1}{{\mathrm{s}}^2}\approx 1,12\cdot 10\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}=11,2\mathrm{N}$

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$f_3=\text{?}$

Rozwiązanie:

Storo, przy generatorze powstaje węzeł, to potem mamy strzałkę, węzeł, strzałkę, węzeł, strzałkę i ostatni węzeł. Zatem możemy zaobserwować taką falę na strunie.

Musimy wyrazić długość fali powstającej na drucie.

FALA STOJĄCA - DŁUGOŚĆ FALI Wzór na długość fali stojącej w strunie możemy przedstawić wzorem: ${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$ gdzie: ${\lambda }_n$ - długość fali stojącej dla $n$-tej harmonicznej,  $L$ - długość struny,  $n$ - liczba naturalna (zaczynając od 1), dla $n=1$ mamy ton podstawowy, a dla $n>1$ mamy kolejne harmoniczne.

Dla częstotliwości tonu podstawowego: $n=1$ otrzymujemy długość fali:

${\lambda }_1=\frac{2L}{1}=2L$

Dla częstotliwości odpowiadającej trzeciej harmonicznej: $n=3$ otrzymujemy długość fali:

${\lambda }_3=\frac{2L}{3}=\frac{2}{3}L$

Wiemy, że:

DŁUGOŚĆ FALI Długość fali akustycznej możemy przedstawić wzorem: $\lambda =\frac{v}{f}$  gdzie: $\lambda$ - długość fali, $v$ - wartość prędkości, z jaką rozchodzi się fala, $f$ - częstotliwość rozchodzącej się fali.

Stąd:

$f=\frac{v}{\lambda }$

Możemy zapisać, że częstotliwości dla różnych drgań struny będą równe:

$f_1=\frac{v}{{\lambda }_1}$

$f_3=\frac{v}{{\lambda }_3}$

Zapisujemy stosunek tych częstotliwości.

$\frac{f_3}{f_1}=\frac{\frac{\cancel{v}}{{\lambda }_3}}{\frac{\cancel{v}}{{\lambda }_1}}$

W każdym przypadku wartość prędkości fali na strunie jest taka sama.

$\frac{f_3}{f_1}=\frac{1}{{\lambda }_3}\cdot {\lambda }_1$

$\frac{f_3}{f_1}=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_3}$

Otrzymujemy:

$\frac{f_3}{f_1}=\frac{2\cancel{L}}{\frac{2}{3}\cancel{L}}$

$\frac{f_3}{f_1}=2\cdot \frac{3}{2}$

$\frac{f_3}{f_1}=3$

Stąd:

$f_3=3f_1$

Obliczamy szukaną częstotliwość:

$f_3=3\cdot 110\mathrm{Hz}=330\mathrm{Hz}$