Dane:

$\lambda =5\text{m}$  

$A=0,5\text{m}$  

$v=2\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

${\phi }_0=0$  

$x=0,5\text{m}$  

$t=1,5\text{s}$  

Szukane:

$y\left(x;t\right)=?$  

$y\left(0,5\text{m};1,5\text{s}\right)=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest napisanie równania fali harmonicznej oraz na jego podstawie należy obliczyć następnie położenie równowagi punktu dla podanych parametrów położenia i czasu.

FUNKCJA FALOWA Ogólna postać wzoru na funkcję falową jest dana jako: $y\left(x;t\right)=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$ gdzie: $y$ - wychylenie punktu z położenia równowagi, $A$ - amplituda fali, $\omega$ - częstość kołowa drgań, $t$ - czas, $x$ - położenie względem źródła fali, $v$ - wartość prędkości fali.

W powyższej funkcji nie znamy jedynie częstości drgań jednak wiemy, że jest ona dana zależnością:

CZĘSTOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ Częstość kołową drgań wyrażamy jako: $\omega =2\pi f$ gdzie: $\omega$ - częstość kołowa drgań, $\pi$ - liczba π, $f$ - częstotliwość drgań.

Częstotliwość drgań jest związana z szybkością fali zależnością:

WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI FALI Prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku, z jego częstotliwością oraz długością fali łączy zależność: $v=f\lambda$ gdzie: $v$ - wartość prędkości fali, $f$ - częstotliwość fali, $\lambda$ - długość fali.

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na częstotliwość:

$v=f\lambda |:\lambda$

$\frac{v}{\lambda }=f$

$f=\frac{v}{\lambda }$

Podstawiając powyższe równanie do wzoru na częstość drgań:

$\omega =\frac{2\pi v}{\lambda }$

Zatem funkcja falowa z zależności od wielkości podanych w zadaniu ma postać:

$y\left(x;t\right)=A\sin \left[\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$

 $y\left(x;t\right)=A\sin \left[\frac{2\pi v}{\lambda }\left(t-\frac{x}{v}\right)\right]$

$y\left(x;t\right)=A\sin \left[2\pi \left(\frac{v}{\lambda }\cdot t-\frac{\cancel{v}}{\lambda }\cdot \frac{x}{\cancel{v}}\right)\right]$

$y\left(x;t\right)=A\sin \left[2\pi \left(\frac{v}{\lambda }\cdot t-\frac{1}{\lambda }\cdot x\right)\right]$

Mamy tutaj do czynienia z funkcją dwóch zmiennych. Obliczmy czynniki, które nie zależą od zmiennych. Wyrażone są w podstawowych jednostkach układu SI. Pomińmy jednostki i podajmy same wielkości liczbowe:

$\frac{v}{\lambda }=\frac{2}{5}=0,4$

$\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{5}=0,2$

Równanie fali harmonicznej zależne od dwóch parametrów i z pominięciem podstawowych jednostek układu SI ma postać:

$y\left(x;t\right)=0,5\cdot \sin \left[2\pi \left(0,4t-0,2x\right)\right]$

 Obliczamy wychylenie z położenia równowagi dla $x=0,5\text{m}$ i $t=1,5\text{s}$. Pomińmy jednostki układu SI:

$y=0,5\sin \left[2\pi \left(0,4\cdot 1,5-0,2\cdot 0,5\right)\right]=$

$=0,5\sin \left[2\pi \left(0,6-0,1\right)\right]=$

$=0,5\sin \left[2\pi \cdot 0,5\right]=0,5\cdot \sin \pi =$

$=0,5\cdot 0=0$

Odpowiedź: Równanie falowe ma postać: $y\left(x;t\right)=0,5\sin \left[2\pi \left(0,4t-0,2x\right)\right]$. Dla $x=0,5\text{m}$ i $t=1,5\text{s}$ wychylenie z położenia równowagi jest zerowe: $y\left(0,5;1,5\right)=0$.