Wykres przedstawia zależność energii potencjalnej sprężystości od wychylenia...- Zadanie 9.4.3.: Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$m = 0, 8 kg$

Szukane:

$k = ?$

$x = ?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest wyznaczenie współczynnika sprężystości oraz położenia, w którym prędkość ciężarka jest równa połowie prędkości maksymalnej. Wiemy, że energia potencjalna sprężystości jest dana wzorem:

ENERGIA POTENCJALNA SPRĘŻYSTOŚCI

Energię potencjalną sprężystości wyznaczymy z zależności:

$E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$

gdzie:

$E_{p}$ - energia potencjalna sprężystości,

$k$ - współczynnik sprężystości,

$x$ - wychylenie z położenia równowagi (odkształcenie ciała sprężystego).

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na współczynnik sprężystości:

$E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2} ∣ : x^{2}$

$\frac{E _{P}}{x ^{2}} = \frac{1}{2} k ∣ \cdot 2$

$\frac{2 E _{p}}{x ^{2}} = k$

$k = \frac{2 E _{p}}{x ^{2}}$

Z wykresu najłatwiej odczytać wartość energii dla maksymalnego wychylenia. Te wartości wynoszą:

$E_{p} = 0, 1 J$

$x = 0, 04 m$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$k = \frac{2 \cdot 0 , 1 J}{( 0 , 04 m ) ^{2}} = \frac{0 , 2 N \cdot m}{0 , 0016 m ^{2}} = 125 \frac{N}{m}$

Chcemy wyznaczyć położenie, dla którego wartość prędkości masy jest równa połowie maksymalnej szybkości. Wiemy, że gdy masa porusza się z maksymalną szybkością, jej energia kinetyczna jest równa energii całkowitej układu.

$E_{c} = E_{k m a x}$

gdzie:

$E_{k m a x}$ - energia kinetyczna dla maksymalnej szybkości.

Wiemy, że energia kinetyczna jest dana wzorem:

ENERGIA KINETYCZNA

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_{k} = \frac{m v ^{2}}{2}$

gdzie:

$E_{k}$ - energia kinetyczna ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości, z jaką ciało się porusza.

Dla maksymalnej energii kinetycznej możemy zapisać:

$E_{k m a x} = \frac{m v _{m a x}^{2}}{2}$

gdzie:

$v_{m a x}$ - maksymalna szybkość.

Jak wcześniej pisaliśmy, energia kinetyczna w tym przypadku jest równa energii całkowitej układu, więc możemy zapisać:

$E_{c} = \frac{m v _{m a x}^{2}}{2}$

Gdy ciało porusza się z szybkością równą połowie maksymalnej szybkości, możemy zapisać:

$E_{k} = \frac{m ( \frac{1}{2} v _{m a x} ) ^{2}}{2}$

$E_{k} = \frac{m \frac{1}{4} v _{m a x}^{2}}{2}$

$E_{k} = \frac{1}{4} \frac{m v _{m a x}^{2}}{2}$

$E_{k} = \frac{1}{4} E_{c}$

Wiemy, że na energię całkowitą podczas ruchu masy składają się energia potencjalna sprężystości oraz energia kinetyczna. W związku z tym możemy zapisać:

$E_{c} = E_{k} + E_{p}$

Wiemy, że położenie jest związane z energią potencjalną sprężystości, więc przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na położenie:

$E_{c} = E_{k} + E_{p} ∣ - E_{k}$

$E_{c} - E_{k} = E_{p}$

$E_{p} = E_{c} - E_{k}$

Podstawiając otrzymany przez nas wcześniej wzór na energię kinetyczną:

$E_{p} = E_{c} - \frac{1}{4} E_{c}$

$E_{p} = \frac{3}{4} E_{c}$

Wiemy, że energia całkowita w ruchu drgającym jest dana zależnością:

RUCH DRGAJĄCY - ENERGIA CAŁKOWITA

Całkowitą energię w ruchu drgającym wyznaczymy z zależności:

$E = \frac{1}{2} k A^{2}$

gdzie:

$E$ - całkowita energia mechaniczna ciała drgającego,

$k$ - współczynnik sprężystości,

$A$ - amplituda drgań ciała.

Podstawiając powyższy wzór oraz wzór na energię potencjalną sprężystości do otrzymanego przez nas równania, dostajemy:

$\frac{1}{2} k x^{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} k A^{2}$

Skracając ułamek oraz współczynnik sprężystości po obu stornach równania dostajemy:

$x^{2} = \frac{3}{4} A^{2}$

Wyciągamy pierwiastek z obu stron równania:

$x = \frac{3}{2} A$

Amplituda to inaczej maksymalne wychylenie i odczytaliśmy je z wykresu przy obliczaniu energii całkowitej. Podstawiając maksymalne wychylenie:

$x = \frac{3}{2} \cdot 0, 04 m \approx 0, 866 \cdot 0, 04 m =$

$x = 0, 0 3464 m \approx 0, 0346 m = 3, 46 cm$

Odpowiedź: Współczynnik sprężystości wynosi $125 \frac{N}{m}$ , a położenie, dla jakiego masa porusza się z połową maksymalnej szybkości to $3, 46 cm$ .