Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni planety o takiej samej gęstości, jak Ziemia oraz promieniowi równym dwukrotności promienia Ziemi. Możemy te informacje przedstawić zależnościami:

$d_p=d_Z$

$R_p=2R_Z$

gdzie:

$d_p$ - gęstość planety, 

$d_Z$ - gęstość Ziemi, 

$R_p$ - promień planety, 

$R_Z$ - promień Ziemi. 

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego obliczamy korzystając ze wzoru:

$a_g=\frac{GM}{r^2}$

gdzie:

$a_g$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego,

$G$ -  stała grawitacji,

$M$ - masa ciała wytwarzającego grawitację,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy przyspieszenie grawitacyjne, od środka masy.

Na Ziemi wartość przyspieszenia grawitacyjnego ma postać:

$g=\frac{G{M}_Z}{R_Z^2}$

gdzie:

$g$ - wartość przyspieszenia Ziemskiego.

$M_Z$ - masa Ziemi.

Na rozważanej planecie wartość przyspieszenia grawitacyjnego przedstawimy wzorem:

$a_p=\frac{G{M}_p}{R_p^2}$

gdzie:

$a_p$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego na rozważanej planecie, 

$M_p$ - masa tej planety.

Wiemy, jaka jest zależność pomiędzy promieniem planety, a promieniem Ziemi. Nie wiemy nic natomiast o zależności mas. Wiemy jednak coś o zależnościach gęstości. Korzystając z definicji gęstości wiemy, że:

$d=\frac{m}{V}$

gdzie:

$d$ - gęstość ciała, 

$m$ - masa ciała, 

$V$ - objętość ciała. 

Oznacza to, że gęstość Ziemi będzie miała postać:

$d_Z=\frac{M_Z}{V_Z}$

gdzie:

$V_Z$ - objętość Ziemi. 

Natomiast gęstość planety będzie miała postać:

$d_p=\frac{M_p}{V_p}$

gdzie:

$V_p$ - objętość planety. 

Przyjmijmy, że Ziemia i planeta są kulami. Objętość kuli obliczamy korzystając ze wzoru:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

gdzie:

$\pi$ - liczba pi,

$r$ - promień kuli.

Zatem objętość Ziemi będzie miała postać:

$V_Z=\frac{4}{3}\pi R_Z^3$

gdzie: 

$V_Z$ - objętość kuli ziemskiej. 

Natomiast objętość planety będzie miała postać:

$V_p=\frac{4}{3}\pi R_p^3$

gdzie:

$V_p$ - objętość planety.

Korzystając ze związku pomiędzy gęstościami planety i Ziemi wyznaczamy związek pomiędzy masą planety, a masą Ziemi. 

$d_p=d_Z$

$\frac{M_p}{V_p}=\frac{M_Z}{V_Z}$

$\frac{M_p}{\cancel{\frac{4}{3}\pi }{R}_p^3}=\frac{M_Z}{\cancel{\frac{4}{3}\pi }{R}_Z^3}|\cdot R_p^3$

$M_p=\frac{R_p^3}{R_Z^3}\cdot M_Z$

$M_p={\left(\frac{R_p}{R_Z}\right)}^3{M}_Z$

$M_p={\left(\frac{2R_Z}{R_Z}\right)}^3{M}_Z$

$M_p=2^3{M}_Z$

$M_p=8M_Z$

Korzystając ze wzoru na wartość przyspieszenia grawitacyjnego na planecie otrzymamy, że:

$a_p=\frac{G{M}_p}{R_p^2}$

$a_p=\frac{G\cdot 8M_Z}{{\left(2R_Z\right)}^2}$

$a_p=\frac{8G{M}_Z}{4R_Z^2}$

$a_p=2\cdot \frac{G{M}_Z}{R_Z^2}$

$a_p=2g$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z wartości przyspieszenia ziemskiego: 

$g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Obliczamy wartość przyspieszenia grawitacyjnego na opisanej w zadaniu planecie:

$a_g=2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=19,62\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx 19,6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

 Odpowiedź: 

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego na planecie o takiej samej gęstości jak Ziemia, ale dwa razy większym promieniu, wynosi około 19,6 m/s².