$\mathbf{a})$  

Naszym zadaniem jest wykazanie, że praca wykonywana przez obciążnik w danym czasie może zostać przedstawiona wzorem:

 $W=\frac{m_o{g}^2}{9}\cdot t^2$ 

gdzie:

$W$ - paca wykonywana przez obciążnik, 

$m_o$ - masa obciążnika, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$t$ - czas ruchu obciążnika.

Zgodnie z treścią zadania, aby wykazać prawidłowość tej zależności należy skorzystać ze wzoru:

$W=M\alpha$

gdzie:

$M$ - wartość momenty siły działającej na obracający się krążek, 

$\alpha$ - kąt obrotu krążka. 

Rozważmy na początku ruch postępowy obciążnika. 

Korzystając z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego otrzymujemy następujące równanie ruchu obciążnika:

$m_{o}a=F_c-F^{\prime }$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego obciążnika, 

$F_c$ - wartość siły ciężkości obciążnika, 

$F^{\prime }$ - wartość siły naciągu nici, która działa na obciążnik.

Wartość siły ciężkości działającej na obciążnik możemy również przedstawić wzorem:

$F_c=m_{o}g$

gdzie:

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Warto również zwrócić uwagę na fakt, że jeżeli mamy do czynienia z nierozciągliwą nicią to siła z jaką nić działa na obciążnik będzie równa co do wartości sile, z jaką nić działa na krążek. Wówczas prawdą jest, że:

$F^{\prime }=F$

gdzie:

$F$ - wartość siły, z jaką nić działa na obciążnik. 

Ruch postępowy obciążnika powoduje ruch obrotowy krążka. Zatem przyspieszenie liniowe punktów na obwodzie krążka będzie takie samo, jak przyspieszenie liniowe obciążnika. Możemy zatem zapisać zależność pomiędzy przyspieszeniem liniowy, a kątowym:

$a=\epsilon R$

gdzie:

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego krążka,

$R$ - promień krążka.  

Zatem wartość siły działającej na krążek i powodującej jego ruch obrotowy przedstawić możemy wzorem:

$m_{o}a=F_c-F^{\prime }$

$m_o\epsilon R=m_{o}g-F|+F$

$m_o\epsilon R+F=m_{o}g|-m_o\epsilon R$

$F=m_{o}g-m_o\epsilon R$

$F=m_o\left(g-\epsilon R\right)$

W tym przypadku ramię siły działającej na krążek odpowiada promieniowi krążka. Wartość momentu siły działającego na krążek, czyli gdy siła jest prostopadła do ramienia siły będzie miał postać:

$M=FR$

$M=m_o\left(g-\epsilon R\right)R$

Krążek zaczyna obracać się po zwolnieniu obciążnika. Oznacza to, początkowa szybkość kątowa krążka jest zerowa. W takim przypadku kąt zakreślony przez obciążnik możemy przedstawić wzorem:

$\alpha =\frac{1}{2}\epsilon t^2$

Zauważmy, że nie znamy przyspieszenia kątowego krążka. Możemy jednak zapisać jego równanie ruchu korzystając z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego:

$I\epsilon =M$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności krążka. 

Moment bezwładności krążka będzie miał postać:

$I=\frac{1}{2}{m}_k{R}^2$

gdzie:

$m_k$ - masa krążka. 

Z treści zadania wiemy, że spełniona jest zależność:

$m_k=4m_o$

Wówczas wartość przyspieszenia kątowego krążka możemy przedstawić wzorem:

$I\epsilon =M$

$\frac{1}{2}{m}_k{R}^2\epsilon =m_o\left(g-\epsilon R\right)R$

$\frac{1}{2}\cdot 4m_o{R}^2\epsilon =m_{o}gR-m_o\epsilon R^2|+m_o\epsilon R^2$

$2m_o{R}^2\epsilon +m_o\epsilon R^2=m_{o}gR$

$3m_o{R}^2\epsilon =m_{o}gR|:3m_o{R}^2$

$\epsilon =\frac{g}{3R}$

W takim przypadku pracę możemy przedstawić wzorem:

$W=M\alpha$

$W=m_o\left(g-\epsilon R\right)R^{}\cdot \frac{1}{2}\epsilon t^2$

$W=m_o\left(g-\frac{g}{3\cancel{R}}\cdot \cancel{R}\right)\bcancel{R}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{g}{3\bcancel{R}}{t}^2$

$W=m_o\left(g-\frac{1}{3}g\right)\cdot \frac{1}{6}g{t}^2$

$W=m_o\left(\frac{3}{3}g-\frac{1}{3}g\right)\cdot \frac{1}{6}g{t}^2$

$W=m_o\cdot \frac{2}{3}g\cdot \frac{1}{6}g{t}^2$

$W=\frac{2m_o{g}^2}{18}\cdot t^2$

$W=\frac{m_o{g}^2}{9}\cdot t^2$

Co należało wykazać!

 

$\mathbf{b})$  

Naszym zadaniem jest wykazanie, że obciążnik wykonał pracę kosztem ubytku swojej energii mechanicznej, czyli początkowa energia mechaniczna obciążnika jest sumą jego energii końcowej oraz pracy przez niego wykonanej:

$W+E=E_0$

gdzie:

$W$ - praca, 

$E$ - końcowa energia mechaniczna obciążnika, 

$E_0$ - początkowa energia mechaniczna obciążnika. 

Początkowo możemy przyjąć, że obciążnik znajduje się na pewnej wysokości, przy czym jest wówczas zablokowany, czyli się nie porusza. Z tego wynika, że energie potencjalna i kinetyczna obciążnika mają wówczas postać:

$E_{p.0}=m_{o}gh$

$E_{k.0}=0$

gdzie:

$E_{p.0}$ - początkowa energia potencjalna obciążnika, 

$m_o$ - masa obciążnika, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$h$ - wysokość, na jakiej znajduje się obciążnik, 

$E_{k.0}$ - początkowa energia kinetyczna obciążnika. 

Obciążnik obniża się na pewien poziom, który możemy uznać za zerowy. Zatem pokonuje on wówczas drogę równą:

$h=\frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego obciążnika, 

$t$ - czas ruchu. 

Całkowita energia mechaniczna na początku ruchu ma postać:

$E_0=E_{p.0}+E_{k.0}$

Gdy obciążnik opadł na poziom przyjęty za podstawowy otrzymujemy, że:

$E_p=0$

$E_k=\frac{1}{2}{m}_o{v}^2$

gdzie:

$E_p$ - energia potencjalna obciążnika na poziomie przyjętym za zerowy, 

$E_k$- energia kinetyczna obciążnika na poziomie przyjętym za zerowy, 

$v$ - szybkość liniowa obciążnika. 

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$a=\epsilon R$

$\epsilon =\frac{g}{3R}$

Obciążnik poruszał się z przyspieszeniem. Wówczas zgodnie z definicją przyspieszenia możemy zapisać zależność:

$a=\frac{v}{t}$

Zatem szybkość, jaką osiągną obciążnik będzie miała postać:

$\frac{v}{t}=a|\cdot t$

$v=at$

Energia mechaniczna obciążnika na końcu ruchu ma postać:

$E=E_p+E_k$

Wówczas otrzymamy, że praca wykonana przez obciążnik kosztem ubytku energii mechanicznej będzie miała postać:

$W+E=E_0$

$W+E_p+E_k=E_{p.0}+E_{k.0}$

$W+0+\frac{1}{2}{m}_o{v}^2=m_{o}gh+0$

$W+\frac{1}{2}{m}_o\cdot {\left(at\right)}^2=m_{o}g\cdot \frac{1}{2}a{t}^2$

$W+\frac{1}{2}{m}_o{a}^2{t}^2=m_{o}g\cdot \frac{1}{2}a{t}^2|-\frac{1}{2}{m}_o{a}^2{t}^2$

$W=\frac{1}{2}{m}_{o}ga{t}^2-\frac{1}{2}{m}_o{a}^2{t}^2$

$W=\frac{1}{2}{m}_{o}g\epsilon R{t}^2-\frac{1}{2}{m}_o{\left(\epsilon R\right)}^2{t}^2$

$W=\frac{1}{2}{m}_{o}g\cdot \frac{g}{3\cancel{R}}\cdot \cancel{R}{t}^2-\frac{1}{2}{m}_o{\epsilon }^2{R}^2{t}^2$

$W=\frac{1}{2}{m}_o{g}^2\cdot \frac{1}{3}{t}^2-\frac{1}{2}{m}_o{\left(\frac{g}{3R}\right)}^2\cdot R^2{t}^2$

$W=\frac{1}{6}{m}_o{g}^2{t}^2-\frac{1}{2}{m}_o\cdot \frac{g^2}{9\cancel{R^2}}\cdot \cancel{R^2}{t}^2$

$W=\frac{1}{6}{m}_o{g}^2{t}^2-\frac{1}{18}{m}_o{g}^2{t}^2$

$W=\frac{3}{18}{m}_o{g}^2{t}^2-\frac{1}{18}{m}_o{g}^2{t}^2$

$W=\frac{2}{18}{m}_o{g}^2{t}^2$

$W=\frac{1}{9}{m}_o{g}^2{t}^2$

$W=\frac{m_o{g}^2}{9}\cdot t^2$