Dane:

$S=200{\text{cm}}^2=0,02{\text{m}}^2$  

$l_1=0,3\text{cm}=0,003\text{m}$  

$l_2=0,5\text{cm}=0,005\mathrm{m}$  

$U_0=600\text{V}$   

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przenikalność elektryczna próżni: ${\epsilon }_0=8,854\cdot 10^{-12}\frac{{\mathrm{C}}^2}{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2}$.

Szukane:

$W=?$

 

$\mathbf{a})$

Rozwiązanie:

W tej części zadania kondensator zostaje odłączony od źródła napięcia przed rozsunięciem okładek.

Praca, jaką należy wykonać, aby zwiększyć odległość między okładkami będzie równa zmianie energii potencjalnej:

$W=\Delta E_{\text{pot}}$  

gdzie:

$W$ - praca, którą należy wykonać podczas rozsuwania okładek kondensatora,

$\Delta E_{\text{pot}}$ - zmiana energii kondensatora. 

Zmianę energii potencjalnej kondensatora możemy wyrazić jako:

$\Delta E_{\text{pot}}=E_{\text{pot2}}-E_{\text{pot1}}$  

gdzie:

$E_{\text{pot1}}$ - początkowa energia kondensatora,

$E_{\text{pot2}}$ - energia kondensatora po rozsunięciu okładek.

Energię zgromadzoną początkowo w kondensatorze możemy przedstawić wzorem:

$E_{\text{pot1}}=\frac{C_1{U}_0^2}{2}$

gdzie:

$C_1$ - początkowa pojemność kondensatora,

$U_0$ - napięcie na kondensatorze.

Pojemność płaskiego kondensatora przedstawiamy wzorem:

$C_1={\epsilon }_0\frac{S}{l_1}$

gdzie:

${\epsilon }_0$ - przenikalność elektryczna próżni (w przybliżeniu równa przenikalności elektrycznej powietrza),

$S$ - powierzchnia okładek kondensatora,

$l_1$ - odległość między okładkami kondensatora.

Zatem wzór na energię kondensatora przyjmie postać:

$E_{\text{pot1}}=\frac{C_1{U}_0^2}{2}$

$E_{\text{pot1}}=\frac{{\epsilon }_0\frac{S}{l_1}{U}_0^2}{2}$

$E_{\text{pot1}}=\frac{{\epsilon }_{0}S{U}_0^2}{2l_1}$

Energię kondensatora po rozsunięciu okładek zapiszemy jako:

$E_{\text{pot2}}=\frac{C_2{U}_2^2}{2}$

gdzie:

$C_2$ - pojemność kondensatora po rozsunięciu okładek,

$U_2$ - napięcie na kondensatorze z rozsuniętymi okładkami.

Pojemność kondensatora po rozsunięciu okładek wyrazimy wzorem:

$C_2={\epsilon }_0\frac{S}{l_2}$

gdzie:

$l_2$ - odległość między rozsuniętymi okładkami kondensatora.

Nie znamy napięcia między okładkami kondensatora po ich rozsunięciu, ale wiemy, że skoro został on odłączony od źródła, to zgromadzony na nim ładunek nie zmieni się podczas rozsuwania okładek:

$Q_1=Q_2$

gdzie:

$Q_1$ - ładunek zgromadzony na okładce kondensatora przed odłączeniem źródła napięcia,

$Q_2$ - ładunek zgromadzony na okładce kondensatora po rozsunięciu okładek.

Ładunek zgromadzony na początku na kondensatorze możemy przedstawić wzorem:

$Q_1=C_1{U}_0$  

Natomiast po rozsunięciu okładek wzorem:

$Q_2=C_2{U}_2$

Zatem:

$C_1{U}_0=C_2{U}_2$

Wyznaczamy wyrażenie na napięcie na kondensatorze z rozsuniętymi okładkami:

$C_1{U}_0=C_2{U}_2|:C_2$

$U_2=\frac{C_1{U}_0}{C_2}$

Wzór na energię kondensatora po rozsunięciu okładek zapiszemy więc jako:

$E_{\text{pot2}}=\frac{C_2{U}_2^2}{2}$

$E_{\text{pot2}}=\frac{C_2{\left(\frac{C_1{U}_0}{C_2}\right)}^2}{2}$

$E_{\text{pot2}}=\frac{\cancel{C_2}{C}_1^2{U}_0^2}{2C_2^{\cancel{2}}}$

$E_{\text{pot2}}=\frac{C_1^2{U}_0^2}{2C_2}$

$E_{\text{pot2}}=\frac{{\left({\epsilon }_0\frac{S}{l_1}\right)}^2{U}_0^2}{2{\epsilon }_0\frac{S}{l_2}}$

$E_{\text{pot2}}=\frac{{\epsilon }_0^{\cancel{2}}\cdot \frac{S^{\cancel{2}}}{l_1^2}\cdot U_0^2}{2\cancel{{\epsilon }_0}\frac{\cancel{S}}{l_2}}$

$E_{\text{pot2}}=\frac{{\epsilon }_{0}S{l}_2{U}_0^2}{2l_1^2}$

W związku z tym, praca, jaką należy wykonać podczas rozsuwania okładek kondensatora wynosi:

$W=\Delta E_{\text{pot}}$

$W=E_{\text{pot2}}-E_{\text{pot1}}$

$W=\frac{{\epsilon }_{0}S{l}_2{U}_0^2}{2l_1^2}-\frac{{\epsilon }_{0}S{U}_0^2}{2l_1}$

$W=\frac{{\epsilon }_{0}S{U}_0^2}{2}\left(\frac{l_2}{l_1^2}-\frac{1}{l_1}\right)$

$W=\frac{{\epsilon }_{0}S{U}_0^2}{2l_1}\left(\frac{l_2}{l_1}-1\right)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:        

$W=\frac{{8,85\cdot {10}^{-12}\frac{{\text{C}}^2}{\text{N}\cdot \cancel{{\text{m}}^2}}\cdot 0,02\cancel{{\mathrm{m}}^2}\cdot \left(600\text{V}\right)}^2}{2\cdot 0,003\mathrm{m}}\cdot \left(\frac{0,005\cancel{\text{m}}}{0,003\cancel{\text{m}}}-1\right)\approx$  

$\approx \frac{0,177\cdot {10}^{-12}\frac{{\text{C}}^2}{\text{N}}\cdot 360000{\mathrm{V}}^2}{0,006\mathrm{m}}\cdot \left(1,67-1\right)\approx$

$\approx \frac{63720\cdot 10^{-12}\frac{{\mathrm{C}}^2\cdot {\mathrm{V}}^2}{\mathrm{N}}}{0,006\mathrm{m}}\cdot 0,67\approx$

$\approx 10620000\cdot {10}^{-12}\frac{{\text{V}}^2\cdot {\text{C}}^2}{\text{N}\cdot \text{m}}\cdot 0,67\approx$  

$\approx 1,062\cdot {10}^{-5}\frac{{\left(\text{V}\cdot \text{C}\right)}^2}{\text{J}}\cdot 0,67=0,71154\cdot {10}^{-5}\frac{{\text{J}}^2}{\text{J}}=$      

$=7,1154\cdot {10}^{-6}\text{J}\approx 7,1\cdot {10}^{-6}\text{J}$      

Odpowiedź: Aby zwiększyć odległość między okładkami kondensatora należy wykonać pracę około 7,1⋅10^-6 J.

 

$\mathbf{b})$

Rozwiązanie:

W tej części zadania kondensator pozostaje podłączony od źródła napięcia w trakcie oddalania okładek.

Podobnie, jak w poprzednim podpunkcie, praca, jaką należy wykonać, aby zwiększyć odległość między okładkami będzie równa zmianie energii potencjalnej:

$W=E_{\text{pot2}}-E_{\text{pot1}}$  

gdzie:

$W$ - praca, którą należy wykonać podczas rozsuwania okładek kondensatora,

$E_{\text{pot1}}$ - początkowa energia kondensatora,

$E_{\text{pot2}}$ - energia kondensatora po rozsunięciu okładek.

Przeprowadzając identyczne rozumowanie, jak poprzednio, możemy wykazać, że energia początkowa kondensatora wyraża się wzorem:

$E_{\text{pot1}}=\frac{{\epsilon }_{0}S{U}_0^2}{2l_1}$

gdzie: 

$U_0$ - napięcie na kondensatorze.

${\epsilon }_0$ - przenikalność elektryczna próżni (w przybliżeniu równa przenikalności elektrycznej powietrza),

$S$ - powierzchnia okładek kondensatora,

$l_1$ - odległość między okładkami kondensatora.​

W tym przypadku kondensator pozostaje połączony z baterią, więc wartość napięcia między jego okładkami nie zmienia się. Energię kondensatora po zmianie położenia okładek przedstawimy wzorem:

$E_{\text{pot2}}=\frac{C_2\cdot U_0^2}{2}$  

gdzie:

$C_2$ - pojemność kondensatora po rozsunięciu okładek,

Pojemność kondensatora po rozsunięciu okładek wyrazimy wzorem:

$C_2={\epsilon }_0\frac{S}{l_2}$

gdzie:

$l_2$ - odległość między rozsuniętymi okładkami kondensatora.

Wzór na energię kondensatora po rozsunięciu okładek zapiszemy więc jako:

$E_{\text{pot2}}=\frac{C_2{U}_0^2}{2}$

$E_{\text{pot2}}=\frac{{\epsilon }_0\frac{S}{l_2}{U}_0^2}{2}$

$E_{\text{pot2}}=\frac{{\epsilon }_{0}S{U}_0^2}{2l_2}$

W związku z tym, praca, jaką należy wykonać podczas rozsuwania okładek kondensatora wynosi:

$W=E_{\text{pot2}}-E_{\text{pot1}}$  

$W=\frac{{\epsilon }_{0}S{U}_0^2}{2l_2}-\frac{{\epsilon }_{0}S{U}_0^2}{2l_1}$

$W=\frac{{\epsilon }_{0}S{U}_0^2}{2}\left(\frac{1}{l_2}-\frac{1}{l_1}\right)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:        

$W=\frac{{8,85\cdot {10}^{-12}\frac{{\text{C}}^2}{\text{N}\cdot \cancel{{\text{m}}^2}}\cdot 0,02\cancel{{\mathrm{m}}^2}\cdot \left(600\text{V}\right)}^2}{2}\cdot \left(\frac{1}{0,005\mathrm{m}}-\frac{1}{0,003\mathrm{m}}\right)\approx$  

$\approx \frac{0,177\cdot {10}^{-12}\frac{{\text{C}}^2}{\text{N}}\cdot 360000{\mathrm{V}}^2}{2}\cdot \left(200\frac{1}{\text{m}}-333,33\frac{1}{\text{m}}\right)\approx$

$\approx \frac{63720\cdot 10^{-12}\frac{{\mathrm{C}}^2\cdot {\mathrm{V}}^2}{\mathrm{N}}}{2}\cdot \left(-133,33\frac{1}{\text{m}}\right)\approx$

$\approx 31860\cdot {10}^{-12}\frac{{\text{C}}^2\cdot {\text{V}}^2}{\text{N}}\cdot \left(-133,33\frac{1}{\text{m}}\right)\approx$  

$\approx -3,2\cdot {10}^{-8}\frac{{\text{C}}^2\cdot {\text{V}}^2}{\text{N}}\cdot 133,33\frac{1}{\text{m}}=-426,656\cdot {10}^{-8}\frac{{\text{C}}^2\cdot {\text{V}}^2}{\text{N}\cdot \text{m}}\approx$     

$\approx -4,26656\cdot {10}^{-6}\frac{{\left(\text{C}\cdot \text{V}\right)}^2}{\text{J}}=-4,26656\cdot {10}^{-6}\frac{{\text{J}}^2}{\text{J}}\approx$     

$\approx -4,3\cdot {10}^{-6}\text{J}$      

Znak minus świadczy o tym, że energia kondensatora się zmniejszyła, a zatem praca nie została wykonana przez siły zewnętrzne, a przez kondensator i źródło napięcia. 

Odpowiedź: Praca wykonana przez kondensator i źródło napięcia wynosi około 4,3⋅10^-6 J.