Dane:

$q=2\mu \mathrm{C}=2\cdot 10^{-6}\mathrm{C}$

$Q_1=-10\mu \mathrm{C}=-10\cdot 10^{-6}\mathrm{C}$

$Q_2=4\mu \mathrm{C}=4\cdot 10^{-6}\mathrm{C}$

$2l=40\mathrm{cm}\to l=20\mathrm{cm}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała elektryczna w próżni: $k=9\cdot 10^9\frac{\mathrm{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$.

Szukane:

$W_{A\to B}=?$

Rozwiązanie:

Pracę jaką wykonają siły wewnętrzne pola elektrostatycznego, aby ładunek $q$ przenieść z punktu A do B opisujemy wzorem:

$W_{A\to B}=q\left(V_A-V_B\right)$   

gdzie:

$W_{A\to B}$ - praca wykonana przy przeniesieniu ładunku z punktu A do B.

$q$ - wartość przenoszonego ładunku,

$V_A,V_B$ - potencjały w punktach A i B.

Potencjał pola elektrycznego w danym punkcie pola wokół ładunku punktowego możemy przedstawić wzorem:

$V=\frac{kQ}{r}$

gdzie:

$V$ - potencjał pola elektrycznego,

$k$ - współczynnik proporcjonalności (stała elektryczna),

$Q$ - wartość ładunku będącego źródłem pola,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy potencjał od ładunku źródłowego.

 Potencjał pola elektrostatycznego pochodzący od ładunku 1 w punkcie A będzie miał postać:

$V_{A1}=\frac{k{Q}_1}{l}$  

gdzie:

$V_{A1}$ - potencjał pochodzący od ładunku $Q_1$,

$Q_1$ - wartość ładunku,

$l$ - odległość między punktem A, a ładunkiem $Q_1$.

Potencjał pola elektrostatycznego w punkcie A pochodzący od ładunku 2 będzie miał postać:

$V_{A2}=\frac{k{Q}_2}{l}$  

gdzie:

$V_{A2}$ - potencjał pochodzący od ładunku $Q_2$,

$Q_2$ - wartość ładunku.

Potencjał jest wielkością skalarną. Korzystając z zasady superpozycji dla potencjałów pól elektrostatycznych otrzymujemy, że potencjał pola w punkcie A będzie miał postać:

$V_A=V_{A1}+V_{A2}$  

Zauważmy, że odległość ładunków $Q_1$ i $Q_2$ od punktu B jest przekątną kwadratu o boku długości $l$. Z tego wynika, że:

$r_{B1}=r_{B2}=\sqrt{2}l$  

gdzie:

$r_{B1},r_{B2}$ - odległości punktu B od poszczególnych ładunków.

Z tego wynika, że potencjał pole elektrostatycznego w punkcie B pochodzący od ładunku 1 będzie miał postać:

$V_{B1}=\frac{k{Q}_1}{\sqrt{2}l}$  

Natomiast potencjał pola elektrostatycznego w punkcie B pochodzący od ładunku 2 będzie miał postać: 

$V_{B2}=\frac{k{Q}_2}{\sqrt{2}l}$  

Korzystając z zasady superpozycji dla potencjałów pół elektrostatycznych otrzymujemy, że potencjał pola w punkcie B będzie miał postać: 

$V_B=V_{B1}+V_{B2}$  

Wówczas otrzymujemy, że praca wykonana przy przemieszczeniu ładunku o wartości $q$ z punktu A do punktu B będzie miała postać:

$W_{A\to B}=q\left(V_A-V_B\right)$  

$W_{A\to B}=q\left(V_{A1}+V_{A2}-\left(V_{B1}+V_{B2}\right)\right)$  

$W_{A\to B}=q\left(\frac{k{Q}_1}{l}+\frac{k{Q}_2}{l}-\left(\frac{k{Q}_1}{\sqrt{2}l}+\frac{k{Q}_2}{\sqrt{2}l}\right)\right)$  

$W_{A\to B}=q\left(\frac{k}{l}\left(Q_1+Q_2\right)-\frac{k}{\sqrt{2}l}\left(Q_1+Q_2\right)\right)$  

$W_{A\to B}=q\frac{k}{l}\left(Q_1+Q_2\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W_{A\to B}=2\cdot {10}^{-6}\text{C}\cdot \frac{9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}}{0,2\text{m}}\cdot \left(-10\cdot {10}^{-6}\text{C}+4\cdot {10}^{-6}\text{C}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx$  

$\approx 2\cdot {10}^{-6}\text{C}\cdot 45\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot \text{m}}{{\text{C}}^2}\cdot \left(-6\cdot {10}^{-6}\text{C}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{1,4142}\right)\approx$  

$\approx -540\cdot {10}^{-3}\text{N}\cdot \text{m}\cdot \left(1-0,707114\right)\approx -0,54\text{N}\cdot \text{m}\cdot 0,292886\approx -0,16\text{J}$     

Odpowiedź: Praca wykonana przez siłę pola podczas przemieszczania ładunku wynosi około -0,16 J.