Jednoatomowy gaz doskonały przechodzi...- Zadanie 3: Fizyka 2. Zakres rozszerzony. Wydanie 2020

Rozwiązanie

$a)$

Szukane:

$W = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie pracy, jaką wykonała siła zewnętrzna podczas przemiany gazu ze stanu 1 do stanu 2. Z wykresu odczytujemy, że podczas przejścia ze stanu 1 do 2 objętość gazu się zwiększyła — gaz się rozpręża. Jeżeli gaz się rozpręża, to oznacza, że to gaz wykonuje pracę, zatem praca sił zewnętrznych jest ujemna.

Zauważmy, że praca, jaką wykonał gaz, jest równa polu powierzchni pod wykresem zależności $p (V)$ . Z wykresu odczytujemy, że powierzchnia pod wykresem ma kształt prostokąta oraz trapezu:

$W = P_{1} + P_{2}$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez gaz,

$P_{1}$ - pole powierzchni pod wykresem o kształcie prostokąta,

$P_{2}$ - pole powierzchni pod wykresem o kształcie trapezu.

▶ Prostokąt

Pole prostokąta opisuje wzór:

$P = a b$

gdzie:

$a, b$ - wymiary prostokąta.

Z wykresu odczytujemy:

$a = 0, 5 \cdot 1 0^{6} Pa$

$b = 2 dm^{3} - 1 dm^{3} = 1 dm^{3}$

Wiemy, że:

$1 dm = 0, 1 m$

Wówczas:

$b = (1 dm)^{3} = (0, 1 m)^{3} = 0, 001 m^{3} = 1 0^{- 3} m^{3}$

Ostatecznie mamy:

$P_{1} = 0, 5 \cdot 1 0^{6} Pa \cdot 1 0^{- 3} m^{3} =$

$P_{1} = 0, 5 \cdot 1 0^{3} \frac{N}{m ^{2}} \cdot m^{3^{1}} = 500 N \cdot m = 500 J$

▶ Trapez

Pole powierzchni trapezu opisuje wzór:

$P = \frac{a + b}{2} \cdot h$

gdzie:

$a, b$ - długości podstaw trapezu,

$h$ - wysokość trapezu.

Z wykresu odczytujemy:

$a = 0, 5 \cdot 1 0^{6} Pa$

$b = 1, 5 \cdot 1 0^{6} Pa$

$h = 3 dm^{3} - 2 dm^{3} = 1 dm^{3} = 1 0^{- 3} m^{3}$

Wówczas:

$P_{2} = \frac{0 , 5 \cdot 1 0 ^{6} Pa + 1 , 5 \cdot 1 0 ^{6} Pa}{2} \cdot 1 0^{- 3} m^{3} =$

$P_{2} = \frac{2 ^{1} \cdot 1 0 ^{6} Pa}{2 ^{1}} \cdot 1 0^{- 3} m^{3} =$

$P_{2} = 1 0^{6} \cdot 1 0^{- 3} \frac{N}{m ^{2}} \cdot m^{3^{1}} = 1 0^{3} N \cdot m = 1000 J$

Wracamy do wzoru na pracę, jaką wykonuje gaz:

$W = P_{1} + P_{2}$

Podstawiamy dane:

$W = 500 J + 1000 J = 1500 J = 1, 5 kJ$

Praca siły zewnętrznej jest ujemna, więc wynosi:

$W_{si ł a zewn ę trzna} = - 1, 5 kJ$

Odpowiedź: Praca siły zewnętrznej wynosi $- 1, 5 kJ$ .

$b)$

Szukane:

$Δ U = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie zmiany energii wewnętrznej gazu podczas przemiany ze stanu 1 do stanu 2.

ZASADA EKWIPARTYCJI ENERGII

Zgodnie z zasadą ekwipartycji energii zmianę energii wewnętrznej gazu doskonałego w zamkniętym zbiorniku możemy przedstawić wzorem:

$Δ U = \frac{i}{2} n R Δ T$

gdzie:

$Δ U$ - zmiana energii wewnętrznej gazu,

$i$ - liczba stopni swobody gazu zamkniętego w zbiorniku,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$Δ T$ - zmiana temperatury gazu.

Z treści zadania odczytujemy, że mamy do czynienia z gazem jednoatomowym, w którym atomy mają 3 stopnie swobody. Zapiszemy więc, że zmianę energii wewnętrznej opisuje wzór:

$Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$

Zmiana temperatury jest równa różnicy temperatury końcowej i początkowej gazu:

$Δ T = T_{k} - T_{p}$

gdzie:

$T_{k}$ - temperatura końcowa gazu,

$T_{p}$ - temperatura początkowa gazu.

W naszym przypadku przyjmujemy, że końcowy stan gazu, to stan 2, natomiast początkowy stan gazu, to stan 1:

$T_{k} = T_{2}$

$T_{p} = T_{1}$

Co więcej, przyjmujemy, że rozważany przez nas gaz jest gazem doskonałym.

RÓWNANIE CLAPEYRONA

Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

Przekształcamy powyższe równanie:

$n R T = p V ∣ : n R$

$T = \frac{p V}{n R}$

Wówczas:

▶ Temperatura początkowa gazu

$T_{p} = T_{1}$

$T_{p} = \frac{p _{1} V _{1}}{n R}$

▶ Temperatura końcowa gazu

$T_{k} = T_{2}$

$T_{k} = \frac{p _{2} V _{2}}{n R}$

Wracamy do wzoru na zmianę energii wewnętrznej:

$Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T$

Podstawiamy wzór na zmianę temperatury:

$Δ U = \frac{3}{2} n R (T_{k} - T_{p})$

Następnie podstawiamy wzory na poszczególne temperatury:

$Δ U = \frac{3}{2} n R (\frac{p _{2} V _{2}}{n R} - \frac{p _{1} V _{1}}{n R})$

$Δ U = \frac{3}{2} n R \frac{1}{n R} (p_{2} V_{2} - p_{1} V_{1})$

$Δ U = \frac{3}{2} (p_{2} V_{2} - p_{1} V_{1})$

Z wykresu odczytujemy:

$p_{1} = 0, 5 \cdot 1 0^{6} Pa$

$V_{1} = 1 dm^{3} = 1 0^{- 3} m^{3}$

$p_{2} = 1, 5 \cdot 1 0^{6} Pa$

$V_{2} = 3 dm^{3} = 3 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}$

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy:

$Δ U = \frac{3}{2} \cdot (1, 5 \cdot 1 0^{6} Pa \cdot 3 \cdot 1 0^{- 3} m^{3} - 0, 5 \cdot 1 0^{6} Pa \cdot 1 0^{- 3} m^{3}) =$

$Δ U = \frac{3}{2} \cdot (1, 5 \cdot 3 \cdot 1 0^{6} \cdot 1 0^{- 3} Pa \cdot m^{3} - 0, 5 \cdot 1 0^{6} \cdot 1 0^{- 3} Pa \cdot m^{3}) =$

$Δ U = \frac{3}{2} \cdot (4, 5 \cdot 1 0^{3} - 0, 5 \cdot 1 0^{3}) Pa \cdot m^{3} =$

$Δ U = \frac{3}{2 ^{1}} \cdot 4^{2} \cdot 1 0^{3} \frac{N}{m ^{2}} \cdot m^{3^{1}} =$

$Δ U = 3 \cdot 2 \cdot 1 0^{3} N \cdot m = 6000 J = 6 kJ$

Odpowiedź: Energia wewnętrzna gazu wzrosła o $6 kJ$ .

$c)$

Dane:

Skorzystamy z wartości obliczonych w poprzednich podpunktach:

$W = - 1, 5 kJ$

$Δ U = 6 kJ$

Szukane:

$Q = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ciepła, jakie gaz wymienił z otoczeniem. Znamy ilość pracy, jaką wykonały siły zewnętrzne nad gazem oraz zmianę energii wewnętrznej gazu. Do wyznaczenia ciepła posłużymy się pierwszą zasadą termodynamiki.

I ZASADA TERMODYNAMIKI

Pierwsza zasada termodynamiki mówi nam, że zmiana energii wewnętrznej układu termodynamicznego jest równa sumie pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne i ciepła wymienionego z otoczeniem:

$Δ U = W + Q$

gdzie:

$Δ U$ - zmiana energii wewnętrznej układu,

$W$ - praca wykonana nad układem przez siły zewnętrzne,

$Q$ - ciepło dostarczone do ciała (pobrane z otoczenia przez układ).

Przekształcamy powyższą zależność:

$W + Q = Δ U ∣ - W$