Dane:

$T_n={20}^{\circ }\text{C}$  

$\Delta T_n=5^{\circ }\text{C}\text{, czyli }\Delta T_n=5\text{K}$  

$T_l=-{10}^{\circ }\text{C}$  

$T_0=0^{\circ }\text{C}$  

$L_t=335000\frac{\text{J}}{\text{kg}}$  

$c_n=3600\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$  

$c_w=4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$  

$c_l=2100\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$  

Szukane:

$\frac{m_l}{m_n}=?$  

Rozwiązanie:

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury ciała wyraża się wzorem:

$Q=mc\Delta T$  

gdzie $Q$  jest ciepłem oddanym lub pobranym przez ciało o masie $m$  przy zmianie temperatury o $\Delta T$ , $c$  jest ciepłem właściwym substancji.

Napój oddał ciepło zmieniając swoją temperaturę o:

$\Delta T_n=5\text{K}$  

Zatem ciepło oddane przez napój możemy przedstawić jako:

$Q_{\text{oddane}}=m_n{c}_n\Delta T_n$  

Oznacza, to że temperatura mieszaniny po wyrównaniu wynosiła:

$\Delta T_n=T_n-T\mid +T$  

$\Delta T_n+T=T_n\mid -\Delta T_n$  

$T=T_n-\Delta T_n$  

$T={20}^{\circ }\text{C}-5^{\circ }\text{C}={15}^{\circ }\text{C}=15\text{K}$  

Lód pobrał ciepło na zmianę temperatury, potem na zmianę stanu skupienia i na końcu jeszcze na podgrzanie wody powstałej z lodu, czyli:

$Q_{\text{pobrane}}=Q_1+Q_t+Q_2$  

Zmiana temperatury lodu wynosiła:

$\Delta T_l=T_0-T_l$  

$\Delta T_l=0^{\circ }\text{C}-\left(-{10}^{\circ }\text{C}\right)={10}^{\circ }\text{C}\text{, czyli }$  

$\Delta T_l=10\text{K}$  

Zatem ciepło pobrane przez lód przy podgrzewaniu do temperatury topnienia wynosi:

$Q_1=m_l{c}_l\Delta T_l$  

Ciepło pobrane przy zmianie stanu skupienia wynosi:

$Q_t=m_l{L}_t$  

Woda powstała z lodu ma taką samą masę. Temperatura o jaką się ogrzewa wynosi:

$\Delta T_w=T-T_0$  

$\Delta T_w={15}^{\circ }\text{C}-0^{\circ }\text{C}={15}^{\circ }\text{C}\text{, czyli }$  

$\Delta T_w=15\text{K}$  

Oznacza to, że ciepło pobrane przez wodę powstałą z lodu wynosi:

$Q_2=m_l{c}_w\Delta T_w$  

Wówczas całkowite ciepło pobrane przez lód ma postać:

$Q_{\text{pobrane}}=Q_1+Q_t+Q_2$  

$Q_{\text{pobrane}}=m_l{c}_l\Delta T_l+m_l{L}_t+m_l{c}_w\Delta T_w$  

$Q_{\text{pobrane}}=m_l\left(c_l\Delta T_l+L_t+c_w\Delta T_w\right)$  

Zapisując równanie bilansu cieplnego wyznaczmy stosunek mas:

$Q_{\text{pobrane}}=Q_{\text{oddane}}$  

$m_l\left(c_l\Delta T_l+L_t+c_w\Delta T_w\right)=m_n{c}_n\Delta T_n\mid :m_n$  

$\frac{m_l}{m_n}\left(c_l\Delta T_l+L_t+c_w\Delta T_w\right)=c_n\Delta T_n\mid :\left(c_l\Delta T_l+L_t+c_w\Delta T_w\right)$  

$\frac{m_l}{m_n}=\frac{c_n\Delta T_n}{c_l\Delta T_l+L_t+c_w\Delta T_w}$  

$\frac{m_l}{m_n}=\frac{3600\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 5\text{K}}{2100\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 10\text{K}+335000\frac{\text{J}}{\text{kg}}+4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 15\text{K}}$  

$\frac{m_l}{m_n}=\frac{18000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}{21000\frac{\text{J}}{\text{kg}}+335000\frac{\text{J}}{\text{kg}}+63000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}$  

$\frac{m_l}{m_n}=\frac{18000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}{419000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}$  

$\frac{m_l}{m_n}=\frac{18}{419}$  

$\frac{m_l}{m_n}\approx 0,0429594$  

$\frac{m_l}{m_n}\approx 0,043$