Dane: 

▶ masa kabiny windy wynosi: $m=700\text{kg}$ ,

▶ maksymalna masa obciążenia w windzie wynosi: $m_o=600\text{kg}$ , 

▶ wysokość jednej kondygnacji budynku: $h=3\text{m}$ . 

 

$\text{a) }$  

Winda zjeżdża z piątego pietra na parter, czyli pokonuje drogę równą pięciu wysokościom kondygnacji budynku:

$s=5h$  

Wartość siły ciężkości ciała na ziemi obliczamy jako iloczyn jego masy $m$  oraz wartości przyspieszenia ziemskiego $g$ :

$Q=mg$  

gdzie za wartość przyspieszenia ziemskiego przyjmujemy $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$ .

Winda jest pusta jej ciężar będzie wynosił:

$Q_w=mg$  

Wiemy, że przeciwwaga kabiny windy równa jest masie kabiny i połowie przeciwwagi maksymalnego obciążenia. Zatem ciężar przeciwwagi kabiny windy wynosi:

$Q_p=\left(m+\frac{1}{2}{m}_0\right)g$  

Siła silnika, która wykonuje pracę, czyli opuszcza kabinę windy będzie wypadkową zwróconych przeciwnie do siebie ciężarów kabiny i przeciwwagi:

$F=Q_p-Q_w$  

Pracę wykonaną przez poruszające się ciało, w przypadku gdy wektor działającej siły jest prostopadły do wektora przemieszczenia przedstawiamy zależnością:

$W=F\cdot s$  

gdzie $W$  jest pracą wykonaną przez poruszające się ciało, na które działa siła o wartości $F$  na odcinku $s$ .

Oznacza to, że praca wykonana wówczas przez windę wynosi:

$W=Fs$  

$W=\left(Q_p-Q_w\right)\cdot 5h$  

$W=5\left(\left(m+\frac{1}{2}{m}_0\right)g-mg\right)h$  

$W=5\left(m+\frac{1}{2}{m}_0-m\right)gh$  

$W=5\cdot \frac{1}{2}{m}_{0}gh$  

$W=\frac{5}{2}{m}_{0}gh$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W=\frac{5}{\underset{1}{\sout{2}}}\cdot \stackrel{300}{\sout{600}}\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 3\text{m}=45000\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=45000\text{J}$  

Kabina jest opuszcza w dół, czyli silnik musi wykonać pracę przy podnoszeniu przeciwwagi. 

Odpowiedź: Silnik windy wykonuje pracę równą 45 000 J.

 

$\text{b) }$  

Pusta winda wjeżdża z parteru na piąte piętro. Wówczas kabina windy pokonuje drogę równą 5 kondygnacjom. Oznacza to, że mamy sytuację przeciwną do sytuacji z podpunktu a). Ponieważ masa przeciwwagi jest większa niż masa kabiny to silnik windy musi hamować. 

Odpowiedź: Silnik windy można zastąpić hamulcem, który wykonuje pracę 45 000 J.

 

$\text{c) }$  

W windzie znajduje się jedna osoba (człowiek) o masie:

$m_c=80\text{kg}$  

Jego ciężar wynosi:

$Q_c=m_{c}g$  

Wówczas całkowity ciężar kabiny windy będzie większy o ciężar człowieka. Zauważmy jednak, że wówczas masa przeciwwagi nadal jest większa. Oznacza to, siła wypadkowa z jaką musi działać silnik windy wynosi:

$F=Q_p-Q_w-Q_c$  

Człowiek wjeżdża z parteru na piąte piętro, czyli pokonuje drogę:

$s=5h$  

Wówczas silnik musi hamować przeciwwagę. Praca jaką wówczas wykona wynosi:

$W=Fs$  

$W=\left(Q_p-Q_w-Q_c\right)5h$  

$W=5\left(\left(m+\frac{1}{2}{m}_0\right)g-mg-m_{c}g\right)h$  

$W=5\left(m+\frac{1}{2}{m}_0-m-m_c\right)gh$  

$W=5\left(\frac{1}{2}{m}_0-m_c\right)gh$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W=5\cdot \left(\frac{1}{\underset{1}{\sout{2}}}\cdot \stackrel{300}{\sout{600}}\text{kg}-80\text{kg}\right)\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 3\text{m}=5\cdot \left(300\text{kg}-80\text{kg}\right)\cdot 30\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=$  

$=5\cdot 220\text{kg}\cdot 30\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=33000\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=33000\text{J}$  

Odpowiedź: Silnik windy można zastąpić hamulcem, który wykonuje pracę 33 000 J.

 

$\text{d) }$  

Mamy tutaj do czynienia z sytuacją, odwrotną niż w podpunkcie c). Oznacza to, że to silnik windy wykonuje pracę. 

Odpowiedź: Silnik windy wykonuje pracę równą 33 000 J.

 

$\text{e)}$  

W tym przypadku masa ludzi w kabinie windy łącznie wynosi: 

$m_l=350\text{kg}$  

Wówczas ich ciężar to:

$Q_l=m_{l}g$  

Ludzie wjeżdżają z parteru na piąte piętro:

$s=5h$  

Zauważmy, że teraz masa kabiny wraz z ludźmi jest większa niż masa przeciwwagi. Wówczas siła wypadkowa, z jaką musi działać silnik, aby ludzie wjechali na piąte piętro ma postać:

$F=Q_w+Q_l-Q_p$  

Zatem praca wykonana wówczas przez ten silnik wynosi:

$W=Fs$  

$W=\left(Q_w+Q_l-Q_p\right)\cdot 5h$  

$W=5\left(mg+m_{l}g-\left(m+\frac{1}{2}{m}_0\right)g\right)h$  

$W=5\left(m+m_l-m-\frac{1}{2}{m}_0\right)gh$  

$W=5\left(m_l-\frac{1}{2}{m}_0\right)gh$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W=5\cdot \left(350\text{kg}-\frac{1}{\underset{1}{\sout{2}}}\cdot \stackrel{300}{\sout{600}}\text{kg}\right)\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 3\text{m}=5\cdot \left(350\text{kg}-300\text{kg}\right)\cdot 30\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=$  

$=5\cdot 50\text{kg}\cdot 30\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=7500\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=7500\text{J}$  

Odpowiedź: Silnik windy wykonuje pracę równą 7 500 J.

 

$\text{f) }$  

Mamy tutaj do czynienia z sytuacją, odwrotną niż w podpunkcie e). Oznacza to, że to silnik windy wykonuje pracę. 

Odpowiedź: Silnik windy można zastąpić hamulcem, który wykonuje pracę 7 500 J.