Dane:

▶ pierwsza długość drogi pokonana prze rowerzystę: $s_1=10\text{km}$ ,

▶ wartość prędkości średniej rowerzysty na pierwszym odcinku trasy: $v_1=15\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ,

▶ druga długość drogi pokonanej przez rowerzystę: $s_2=25\text{km}$ ,

▶ wartość prędkości średniej rowerzysty na drugim odcinku trasy: $v_2=20\frac{\text{km}}{\text{h}}$ .

Szukane:

▶ wartość prędkości średniej na całej trasie:  $v_{\text{sˊr}}=?$  

Rozwiązanie: 

Średnia szybkość ruchu jest stosunkiem całkowitej drogi przebytej przez ciało do całkowitego czasu ruchu:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$  

gdzie $v_{\text{sˊr}}$  jest szybkością średnią, $\Delta t$  jest całkowitym czasem, $\Delta s$  jest całkowitą drogą jaką pokonało ciało.

Całkowita droga przebyta przez rowerzystę będzie sumą dróg na poszczególnych etapach trasy:

$\Delta s=s_1+s_2$  

Wartość prędkości w ruchu jednostajnym możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$v=\frac{s}{t}$  

gdzie $s$  jest drogą przebytą przez ciało w czasie $t$ .

Wówczas czas ruchu przedstawiamy wzorem:

$v=\frac{s}{t}\mid \cdot t$  

$vt=s\mid :v$  

$t=\frac{s}{v}$  

Zatem czas ruchu rowerzysty na pierwszym odcinku trasy będzie miał postać:

$t_1=\frac{s_1}{v_1}$  

Natomiast czas ruchu rowerzysty na drugim odcinku trasy będzie miał postać:

$t_2=\frac{s_2}{v_2}$  

Oznacza to, że całkowity czas ruchu rowerzysty przedstawimy wzorem:

$\Delta t=t_1+t_2$  

$\Delta t=\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}$  

Oznacza to, że wartość prędkości średniej ma postać:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$  

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}$  

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1{v}_2}{v_1{v}_2}+\frac{s_2{v}_1}{v_1{v}_2}}$  

$v_{\text{sˊr}}=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1{v}_2+s_2{v}_1}{v_1{v}_2}}$  

$v_{\text{sˊr}}=\frac{v_1{v}_2\left(s_1+s_2\right)}{s_1{v}_2+s_2{v}_1}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{15\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 20\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot \left(10\text{km}+25\text{km}\right)}{10\text{km}\cdot 20\frac{\text{km}}{\text{h}}+25\text{km}\cdot 15\frac{\text{km}}{\text{h}}}=\frac{15\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 20\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 35\text{km}}{200\frac{{\text{km}}^2}{\text{h}}+375\frac{{\text{km}}^2}{\text{h}}}=$  

$=\frac{10500\frac{{\text{km}}^3}{{\text{h}}^2}}{575\frac{{\text{km}}^2}{\text{h}}}=\frac{420}{23}\frac{\text{km}}{\text{h}}\approx 18,3\frac{\text{km}}{\text{h}}$  

Odpowiedź:

Wartość prędkości średniej rowerzysty na całej drodze wynosi:

$\text{A. }18,3\frac{\text{km}}{\text{h}}$