$\mathbf{a})$  

Naszym zadaniem jest odczytanie z wykresu okresu drgań, czyli czas trwania jednego pełnego cyklu.

Z wykresu odczytujemy, że wynosi on:

$T=2\text{s}$  

 

$\mathbf{b})$  

Naszym zadaniem jest ustalenie, w którym punkcie znajdował się odważnik w chwili, kiedy zaczęto mierzyć czas, czyli:

$t_0=0$

Zatem szukamy tak naprawdę wartości położenia ciała w zerowych czasie. Wychylenie ciała w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$

gdzie: 

$x\left(t\right)$ - wychylenie ciała po zadanym czasie, 

$t$ - czas, 

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań,  

$\phi$ - faza ruchu.

W zadaniu mamy przedstawiony wykres zależności współrzędnej przyspieszenia od czasu. Wartość przyspieszenia ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t+\phi \right)$

gdzie: 

$a\left(t\right)$ - wartość przyspieszenia ciała po zadanym czasie, 

$t$ - czas, 

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań,  

$\phi$ - faza ruchu.

Wówczas możemy zapisać, że:

$a\left(t\right)=-A\sin \left(\omega t+\phi \right)\cdot {\omega }^2$

$a\left(t\right)=-x\left(t\right){\omega }^2$

Częstość kołową drgań wyrażamy jako:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - częstość kołowa drgań,

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres drgań.

Oznacza to, że współrzędną położenia możemy przedstawić wzorem:

$-x\left(t\right){\omega }^2=a\left(t\right)$

$-x\left(t\right){\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2=a\left(t\right)$

$-x\left(t\right)\cdot \frac{4{\pi }^2}{T^2}=a\left(t\right)|\cdot T^2$

$-x\left(t\right)\cdot 4{\pi }^2=a\left(t\right)T^2|:\left(-4{\pi }^2\right)$

$x\left(t\right)=-\frac{a\left(t\right)T^2}{4{\pi }^2}$

Z wykresu odczytujemy, że:

$a\left(t_0\right)=0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

$T=2,0\text{s}$

Z odczytanych z wykresu danych możemy również rozważyć maksymalną wartość przyspieszenia, dzięki której wyznaczymy amplitudę. 

W ruchu drgającym wartość przyspieszenia ciała jest maksymalna, gdy znajduje się ono w jednym z maksymalnych wychyleń od położenia równowagi. Wówczas, zgodnie z zależnością wartości przyspieszenia od czasu, w tym położeniu sinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli 1, a maksymalna wartość przyspieszenia ma wówczas postać:

$a_{\max }=A{\omega }^2$

gdzie: 

$a_{\max }$ - maksymalna wartość przyspieszenia,

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań.  

Oznacza to, że:

$A{\omega }^2=a_{\max }|:{\omega }^2$

$A=\frac{a_{\max }}{{\omega }^2}$

$A=\frac{a_{\max }}{{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2}$

$A=\frac{a_{\max }}{\frac{4{\pi }^2}{T^2}}$

$A=\frac{a_{\max }{T}^2}{4{\pi }^2}$

Zauważmy, że dla $t_0=0$ mamy:

$a\left(t_0\right)=a_{\max }$

Wówczas:

$x\left(t_0\right)=-\frac{a\left(t_0\right)T^2}{4{\pi }^2}$

$x\left(t_0\right)=-\frac{a_{\max }{T}^2}{4{\pi }^2}$

$x\left(t_0\right)=-A$

Oznacza to, że w chwili, w której zaczęto mierzyć czas odważnik znajdował się w punkcie R.

 

$\mathbf{c})$  

Dane (odczytane z wykresu): 

$a_{\max }=0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

$T=2,0\text{s}$

Szukane:

$A=?$

Rozwiązanie:

W poprzednim podpunkcie wyznaczyliśmy amplitudę:

$A=\frac{a_{\max }{T}^2}{4{\pi }^2}$

Obliczmy jej wartość:

 $A=\frac{0,5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(2,0\text{s}\right)}^2}{4\cdot 3,14^2}=\frac{0,5\frac{\text{m}}{\cancel{{\text{s}}^2}}\cdot \xcancel{4}\cancel{{\text{s}}^2}}{\xcancel{4}\cdot 9,8596}=$

$=\frac{0,5}{9,8596}\text{m}\approx 0,050711996\text{m}\approx$

$\approx 0,05\text{m}=5\text{cm}$

Odpowiedź: Amplituda drgań odważnika wynosi 5 cm. 

 

$\mathbf{d})$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

  

Wiemy, że możemy wzór na siłę zależny od położenia ma postać:

$F_x=-m{\omega }^{2}A\sin \left(\omega t+\varphi \right)$   

gdzie:

$A\sin \left(\omega t+\varphi \right)=x$  

Mamy wówczas, że:

$F_x=-m{\omega }^{2}x$  

Teraz korzystając z rysunku zapiszmy równanie sił dla naszego przypadku:

${\overrightarrow{F}}_s+{\overrightarrow{F}}_c={\overrightarrow{F}}_x$  

Wówczas pomijając wektory mamy, że:

$F_s-F_c=-m{\omega }^{2}x\mid +F_c$   

$F_s=-m{\omega }^{2}x+F_c$

$F_s=-m{\omega }^{2}x+mg$  

$F_s=m\left(-{\omega }^{2}x+g\right)$   

W zadaniu podane mamy, że:

$x=P=A=5cm=0,05m$   

$\omega =\frac{2\pi }{T}\Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{2s}\Rightarrow \omega =\pi \frac{1}{s}$  

$g=9,81\frac{m}{s^2}$  

Wiemy, że masa zawsze będzie miała wartość dodatnią. Aby sprężyna działała na odwaznik siłą zwróconą w górę musimy wykazać, że wyrażenie w nawiasie jest dodatnie:

$-{\omega }^{2}x+g>0$    

Podstawmy dane liczbowe do nierówności:

$-{\left(3,14\frac{1}{s}\right)}^2\cdot 0,05m+9,81\frac{m}{s^2}>0$   

$-9,8596\frac{1}{s^2}\cdot 0,05m+9,81\frac{m}{s^2}>0$  

$-0,49298\frac{m}{s^2}+9,81\frac{m}{s^2}>0$  

$9,31702>0$  

Otrzymaliśmy, że równość jest prawdziwa. Wówczas siła sprężyny działająca na odważnik jest zwrócona ku górze. 

 

$\mathbf{e})$  

W naszym przypadku mamy do czynienia z siłą sprężystości, której źródłem jest sprężyna oraz siłą ciężaru, której źródłem jest Ziemia. Wiemy, że siłę sprężystości możemy opisać jako iloczyn współczynnika sprężystości i wydłużenia sprężyny, które w punkcie P jest najmniejsze. Oznacza to, że siła ciężkości zwrócona w dół będzie większa od siły sprężystości zwróconej w górę. Mamy wówczas, że siła wypadkowa jest wzrócona w dół.