$\mathbf{a})$  

Szukane:

$\phi =?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie początkowej fazy ruchu drgań. Z treści zadania wiemy, że w chwili początkowej ciało znajdowało się w punkcie P, który jest w połowie amplitudy. Oznacza to, że możemy zapisać, że:

$x_0=\frac{1}{2}A$

gdzie:

$x_0$ - położenie ciała w chwili początkowej, 

$A$ - amplituda drgań,

Skoro to była chwila początkowa to czas ruchu jest wówczas zerowy:

$t_0=0$

Wychylenie ciała w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$

gdzie: 

$x\left(t\right)$ - wychylenie ciała po zadanym czasie, 

$t$ - czas, 

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań,  

$\phi$ - faza ruchu.

Zatem dla chwili początkowej otrzymamy, że równanie to ma postać:

$x_0=A\sin \left(\omega t_0+\phi \right)$

$\frac{1}{2}A=A\sin \left(\omega \cdot 0+\phi \right)$

$\frac{1}{2}\cancel{A}=\cancel{A}\sin \phi$

$\frac{1}{2}=\sin \phi$

$\sin \phi =\frac{1}{2}$

Wiemy, że skoro $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ to wówczas:

$\phi =30^{\circ }=\frac{\pi }{6}$

Odpowiedź:  Faza początkowa drgań ciała wynosi π/6.

 

$\mathbf{b})$  

Dana w podpunkcie:

$T=6\text{s}$

Szukane:

$t_1=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie najkrótszego czasu od chwili rozpoczęcia obserwacji, po którym ciało osiągnie maksymalne wychylenie. Wiemy, że ciało osiąga maksymalnego wychylenie, gdy znajduje się w amplitudzie, czyli:

$x_1=A$

Wówczas równanie ruchu dla tego ciała ma postać:

$x_1=A\sin \left(\omega t_1+\phi \right)$

Wiemy z poprzedniego podpunktu, że:

$\phi =\frac{\pi }{6}$

Częstość kołową drgań wyrażamy jako:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - częstość kołowa drgań,

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres drgań.

Wówczas z równania ruchu dla tego przypadku otrzymamy, że czas po jakim ciało osiągnie pierwsze maksymalne wychylenie wynosi:

$A\sin \left(\omega t_1+\phi \right)=x_1$

$A\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t_1+\frac{\pi }{6}\right)=A|:A$

$\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t_1+\frac{\pi }{6}\right)=1$

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że $\sin \frac{\pi }{2}=1$. Oznacza to, że:

$\frac{2\pi }{T}\cdot t_1+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}|-\frac{\pi }{6}$

$\frac{2\cancel{\pi }}{T}\cdot t_1=\frac{\cancel{\pi }}{2}-\frac{\cancel{\pi }}{6}$

$\frac{2}{T}\cdot t_1=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}$

$\frac{\cancel{2}}{T}\cdot t_1=\frac{\cancel{2}}{6}$

$\frac{1}{T}\cdot t_1=\frac{1}{6}|\cdot T$

$t_1=\frac{T}{6}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t_1=\frac{6\text{s}}{6}=1\text{s}$

Odpowiedź: Najkrótszy czas od chwili rozpoczęcia obserwacji, po którym ciało osiągnie maksymalne wychylenie wynosi 1 s.

 

$\mathbf{c})$  

Zakładamy, że amplituda wynosi:

$A=5\text{cm}$

Z poprzednich podpunktów wiemy, że:

$\phi =\frac{\pi }{6}$

$T=6\text{s}$

Wówczas równanie ruchu z pominięciem jednostek będzie miało postać:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t+\phi \right)$

$x\left(t\right)=5\sin \left(\frac{2\pi }{6}\cdot t+\frac{\pi }{6}\right)$

$x\left(t\right)=5\sin \left(\frac{\pi }{3}\cdot t+\frac{\pi }{6}\right)$

Zatem wykres zależności $x\left(t\right)$ ma postać: