$\mathbf{a})$  

Naszym zadaniem jest obliczenie maksymalnego wychylenia ciała z położenia równowagi, czyli amplitudy, oraz częstotliwości drgań:

$A=?$

$f=?$

Wielkości te mamy wyznaczyć na podstawie wykresu zależności współrzędnej prędkości od czasu. Z wykresu tego możemy odczytać wartość maksymalnej prędkości ciała drgającego oraz okres drgań:

Z wykresy możemy odczytać, że:

$v_{\text{max}}=9,42\frac{\text{cm}}{\text{s}}=0,0942\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$T=4\text{s}$

W ruchu drgającym wartość prędkości ciała jest maksymalna, gdy znajduje się ono w położeniu równowagi. Wówczas zgodnie z zależnością wartości prędkości od czasu, w tym położeniu kosinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli 1, a maksymalna wartość prędkości ma wówczas postać:

$v_{\max }=A\omega$

gdzie: 

$v_{\max }$ - maksymalna wartość prędkości (wartość prędkości w położeniu równowagi),

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań.  

Częstość kołową drgań wyrażamy jako:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - częstość kołowa drgań,

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres drgań.

Zatem amplituda drgań będzie miała postać:

$A\omega =v_{\max }$

$A\cdot \frac{2\pi }{T}=v_{\max }|\cdot T$

$A\cdot 2\pi =v_{\max }T|:2\pi$

$A=\frac{v_{\max }T}{2\pi }$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$A=\frac{0,0942\frac{\text{m}}{\cancel{\text{s}}}\cdot 4\cancel{\text{s}}}{2\cdot 3,14}=\frac{0,3768\text{m}}{6,28}=$

$=0,06\text{m}=6\text{cm}$

Częstotliwości możemy wyrazić jako odwrotność okresu:

$f=\frac{1}{T}$

gdzie:

$f$ - częstotliwość, 

$T$ - okres.

Zatem dla naszego przypadku otrzymamy:

$f=\frac{1}{4\text{s}}=0,25\frac{1}{\text{s}}=0,25\text{Hz}$

Odpowiedź: Wartość maksymalnego wychylenia z położenia równowagi wynosi 6 cm, a częstotliwość drgań to 0,25 Hz.

 

$\mathbf{b})$  

Naszym zadaniem jest zapisanie wzoru funkcji współrzędnej przyspieszenia od czasu dla tego ciała drgającego:

$a_x\left(t\right)=?$

Wartość przyspieszenia ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t+\phi \right)$

gdzie: 

$a\left(t\right)$ - wartość przyspieszenia ciała po zadanym czasie, 

$t$ - czas, 

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań,  

$\phi$ - faza ruchu.

Faza drgań będzie zerowa, ale możemy ją dla pewności wyznaczyć z zależności:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)$

gdzie: 

$v\left(t\right)$ - wartość prędkości ciała po zadanym czasie.

Zauważmy, że dla $t=0$ mamy $v\left(0\right)=v_{\max }$. Wówczas:

$A\omega \cos \left(\omega \cdot 0+\phi \right)=v\left(0\right)$

$v_{\max }\cos \left(0+\phi \right)=v_{\text{max}}|:v_{\max }$

$\cos \phi =1$

Wiemy, że $\cos 0=1$, dlatego $\phi =0$. W takim przypadku dla przyspieszenia otrzymamy:

$a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t+\phi \right)$

$a\left(t\right)=-A\omega \cdot \omega \sin \left(\omega t+0\right)$

$a\left(t\right)=-v_{\max }\omega \sin \left(\omega t\right)$

$a\left(t\right)=-v_{\max }\cdot \frac{2\pi }{T}\sin \left(\frac{2\pi }{T}\cdot t\right)$

Podstawmy wielkości liczbowe odczytane z wykresu do otrzymanego wzoru, przy czym pomińmy jednostki podane na wykresie. Wówczas przyspieszenie domyślnie otrzymamy w $\frac{\mathrm{cm}}{{\text{s}}^2}$, a czas w $\text{s}$:

$a\left(t\right)=-9,42\cdot \frac{2\pi }{4}\sin \left(\frac{2\pi }{4}\cdot t\right)$

$a\left(t\right)=-9,42\cdot \frac{2\cdot 3,14}{4}\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}\cdot t\right)$

$a\left(t\right)=-\frac{59,1576}{4}\sin \left(\frac{\pi }{2}\cdot t\right)$

$a\left(t\right)=-14,7894\sin \left(\frac{\pi }{2}\cdot t\right)$

$a\left(t\right)\approx -14,8\sin \left(\frac{\pi }{2}\cdot t\right)$