Dane:

$x\left(t\right)=0,04\sin \left(\frac{\pi }{3}t\right)$

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$A=?$

$T=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie amplitudy i okresu drgań. Znamy równanie wychylenia od czasu dla tego ciała drgającego. Wychylenie ciała w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$

gdzie: 

$x\left(t\right)$ - wychylenie ciała po zadanym czasie, 

$t$ - czas, 

$A$ - amplituda,  

$\omega$ - częstość drgań,  

$\phi$ - faza ruchu.

Wiemy, że wielkości liczbowe w równaniu podanym w treści zadania wyrażone są w jednostkach SI. Oznacza to, że skoro $x\left(t\right)=0,04\sin \left(\frac{\pi }{3}t\right)$ to wówczas:

$A=0,04\text{m}$

$\omega =\frac{\pi }{3}\frac{1}{\text{s}}$

$\phi =0$

Z równania tego otrzymaliśmy wprost amplitudę. Musimy jeszcze obliczyć okres. Częstość kołową drgań wyrażamy jako:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - częstość kołowa drgań,

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres drgań.

Oznacza to, że okres będzie miał postać:

$\omega =\frac{2\pi }{T}|\cdot T$

$\omega T=2\pi |:\omega$

$T=\frac{2\pi }{\omega }$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T=\frac{2\cancel{\pi }}{\frac{\cancel{\pi }}{3}\frac{1}{\text{s}}}=6\text{s}$

Odpowiedź: Amplituda drgań wynosi 0,04 m, a okres 6 s.

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$v_{\text{max}}=?$  

$v_{\text{sˊr}}=?$  

Rozwiązanie:

W ruchu drgającym maksymalną wartość prędkości ciała mamy, gdy znajduje się ono w położeniu równowagi. Wówczas zgodnie z zależnością na wartość prędkości od czasu w tym położeniu kosinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli 1, a wartość maksymalnej prędkości ma wówczas postać:

$v_{\text{max}}=A\omega$  

gdzie: 

$A$  - amplituda,  

$\omega$  - częstość drgań.  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{\text{max}}=0,04\text{m}\cdot \frac{\pi }{3}\frac{\text{1}}{\text{s}}\approx 0,04\text{m}\cdot \frac{3,14}{3}\frac{\text{1}}{\text{s}}\approx$  

$\approx 0,0418667\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 0,042\frac{\text{m}}{\text{s}}=4,2\frac{\text{cm}}{\text{s}}$  

Średnia szybkość ruchu jest stosunkiem całkowitej drogi przebytej przez ciało do całkowitego czasu ruchu:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$  

gdzie:

$\Delta s$  - całkowita droga jaką pokonało ciało,

$\Delta t$ - całkowity czas ruchu ciała.

Czas w jakim porusza się ciało odpowiada jednemu okresowi: 

$\Delta t=T$  

Przeanalizujmy ruch ciała drgającego w ciągu jednego okresu zakładając, że początkowo znajduje się w położeniu równowagi:

1) najpierw ciało z położenia równowagi przemieszcza się do jednego ze skrajnych wychyleń pokonując wówczas drogę odpowiadającą jednej amplitudzie, 

2) następnie od tego skrajnego wychylenia wraca do położenia równowagi ponownie pokonując drogę odpowiadającą jednej amplitudzie, 

3) kolejno z położenia równowagi wychyla się do drugiego skrajnego położenia kolejny raz pokonując drogę odpowiadającą jednej amplitudzie, 

4) na końcu ciało wraca do położenia równowagi po raz ostatni w cyklu pokonując drogę odpowiadającą jednej amplitudzie. 

Oznacza to, że w czasie jednego okresu wahadło pokonuje czterokrotnie drogę odpowiadającą amplitudzie:

$\Delta s=4A$  

Wówczas średnia szybkość ruchu tego ciała będzie wynosiła:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$  

$v_{\text{sˊr}}=\frac{4A}{T}$  

$v_{\text{sˊr}}=\frac{4A}{\frac{2\pi }{\omega }}$  

$v_{\text{sˊr}}=\frac{2A\omega }{\pi }$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{2\cdot 0,04\text{m}\cdot \frac{\cancel{\pi }}{3}\frac{\text{1}}{\text{s}}}{\cancel{\pi }}=\frac{2\cdot 0,04}{3}\frac{\text{m}}{\text{s}}=\frac{0,08}{3}\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx$  

$\approx 0,026667\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 0,027\frac{\text{m}}{\text{s}}=2,7\frac{\text{cm}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Maksymalna szybkość ciała wynosiła około 4,2 cm/s. Średnia szybkość ciała wynosiła około 2,7 cm/s.

 

$\mathbf{c})$  

Szukane:

$a_{\text{max}}=?$  

Rozwiązanie:

W ruchu drgającym maksymalną wartość przyspieszenia ciała mamy, gdy znajduje się ono w jednym z maksymalnych wychyleń od położenia równowagi. Wówczas zgodnie z zależnością na wartość przyspieszenia od czasu w tym położeniu sinus kąta przyjmuje największą wartość, czyli 1, a wartość maksymalnego przyspieszenia ma wówczas postać:

$a_{\text{max}}=A{\omega }^2$  

gdzie: 

$A$  - amplituda,  

$\omega$  - częstość drgań.  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a_{\text{max}}=0,04\text{m}\cdot {\left(\frac{\pi }{3}\frac{\text{1}}{\text{s}}\right)}^2=0,04\text{m}\cdot \frac{{3,14}^2}{9}\frac{\text{1}}{{\text{s}}^2}=0,04\text{m}\cdot \frac{9,8596}{9}\frac{\text{1}}{{\text{s}}^2}\approx$  

$\approx 0,04382044\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx 0,044\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=4,4\frac{\text{cm}}{{\text{s}}^2}$  

Odpowiedź: Wartość maksymalna przyspieszenia wynosi około 4,4 cm/s².

 

$\mathbf{d})$  

Wartość prędkości ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+\phi \right)$  

gdzie: 

$v\left(t\right)$  - wartość prędkości ciała po zadanym czasie ciała, 

$t$  - czas, 

$A$  - amplituda,  

$\omega$  - częstość drgań,  

$\phi$  - faza ruchu.

Z tego wynika, że dla naszego przypadku mamy:

$v_x\left(t\right)=0,04\cdot \frac{\pi }{3}\cos \left(\frac{\pi }{3}t+0\right)$  

$v_x\left(t\right)=0,04\cdot \frac{\pi }{3}\cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)$  

Wartość przyspieszenia ciała po określonym czasie w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t+\phi \right)$  

gdzie: 

$a\left(t\right)$  - wartość przyspieszenia ciała po zadanym czasie ciała, 

$t$  - czas, 

$A$  - amplituda,  

$\omega$  - częstość drgań,  

$\phi$  - faza ruchu.

Z tego wynika, że dla naszego przypadku mamy:

$a\left(t\right)=-0,04\cdot {\left(\frac{\pi }{3}\right)}^2\sin \left(\frac{\pi }{3}t+0\right)$  

$a\left(t\right)=-0,04\cdot \frac{{\pi }^2}{9}\sin \left(\frac{\pi }{3}t\right)$