Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$R_M=0,533R_Z$  

$R_Z=6400km=6,4\cdot {10}^{3}km=6,4\cdot {10}^3\cdot {10}^{3}m=6,4\cdot {10}^{6}m$

$v_{IM}=0,45v_{IZ}$

$v_{IZ}=7,9\frac{km}{s}=7,9\cdot {10}^3\frac{m}{s}$  

Przyjmujemy, że stała grawitacyjna wynosi:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}$  

Wiemy, że wzór na pierwszą prędkość kosmiczną ma postać:

$v_I=\sqrt{\frac{G\cdot M}{R}}$  

gdzie G jest stałą grawitacyjną, M jest masą planety, R jest promieniem planety. Pierwsza prędkość kosmiczną dla Masa i Ziemi będzie miła postać:

$v_{IM}=\sqrt{\frac{G\cdot M_M}{R_M}}$  

$v_{IZ}=\sqrt{\frac{G\cdot M_Z}{R_Z}}$  

Masę planety możemy przedstawić za pomocą gęstości i objętości korzystając z wzoru na gęstość:

$\rho =\frac{m}{V}\Rightarrow m=\rho \cdot V$   

gdzie ρ jest gęstością, m jest masą, V jest objętością. Wówczas masa każdej z planet będzie miała postać:

$M_M={\rho }_M\cdot V_M$  

$M_Z={\rho }_Z\cdot V_Z$

Załóżmy, że planety są kulami. Wówczas ich objętość będzie miała postać:

$V_M=\frac{4}{3}\pi R_M^3$  

$V_Z=\frac{4}{3}\pi R_Z^3$  

Korzystając z wzoru na pierwszą prędkość kosmiczną wyznaczmy gęstość Marsa:

$v_{IM}=\sqrt{\frac{G\cdot M_M}{R_M}}$  

$v_{IM}=\sqrt{\frac{G\cdot {\rho }_M\cdot V_M}{R_M}}$  

$v_{IM}=\sqrt{\frac{G\cdot {\rho }_M\cdot \frac{4}{3}\pi R_M^3}{R_M}}$   

$v_{IM}=\sqrt{\frac{4}{3}\pi {\rho }_{M}G{R}_M^2}$  

$v_{IM}=2R_M\sqrt{\frac{1}{3}\pi {\rho }_{M}G}$  

$0,45v_{IZ}=2\cdot 0,533R_Z\sqrt{\frac{1}{3}\pi {\rho }_{M}G}$  

$0,45v_{IZ}=1,066\cdot R_Z\sqrt{\frac{1}{3}\pi {\rho }_{M}G}$  

Podnosimy do kwadratu:

$0,2025\cdot v_{IZ}^2=1,136356\cdot R_Z^2\cdot \frac{1}{3}\pi {\rho }_{M}G\mid :1,136356$  

$0,1782\cdot v_{IZ}^2\approx \frac{1}{3}{R}_Z^2\pi {\rho }_{M}G\mid \cdot 3$  

$0,5346\cdot v_{IZ}^2\approx R_Z^2\pi {\rho }_{M}G\mid :R_Z^2\pi G$  

$\frac{0,5346\cdot v_{IZ}^2}{R_Z^2\pi G}={\rho }_M$  

Zamieniamy stronami:

${\rho }_M=\frac{0,5346\cdot v_{IZ}^2}{R_Z^2\pi G}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\rho }_M=\frac{0,5346\cdot {\left(7,9\cdot {10}^3\frac{m}{s}\right)}^2}{{\left(6,4\cdot {10}^{6}m\right)}^2\cdot 3,14\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}}=$  

$=\frac{0,5346\cdot 62,41\cdot {10}^6\frac{m^2}{s^2}}{40,96\cdot {10}^{12}{m}^2\cdot 3,14\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}}=$  

$=\frac{33,364386\cdot {10}^6\frac{m^2}{s^2}}{857,858048\cdot {10}^{12-11}\frac{m^5}{kg\cdot s^2}}=$  

$=\frac{33,364386\cdot {10}^6\frac{m^2}{s^2}}{857,858048\cdot 10\frac{m^5}{kg\cdot s^2}}=\frac{33,364386\cdot {10}^6\frac{m^2}{s^2}}{8578,58048\frac{m^5}{kg\cdot s^2}}\approx$

$\approx 0,0039\cdot {10}^6\frac{kg}{m^3}=3,9\cdot {10}^{-3}\cdot {10}^6\frac{kg}{m^3}=3,9\cdot {10}^3\frac{kg}{m^3}$