Dane:

$r_p=147\text{mln}\text{km}$  

$r_a=152\text{mln}\text{km}$  

$v_a=29,3\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

$M=6\cdot {10}^{24}\text{kg}$  

 

$a)$  

Wiemy, że jeżeli planeta porusza się z największą szybkością to znajduje się najbliżej planety, a jeżeli z najmniejszą to najdalej. Planetę możemy potraktować jako masę punktową, czyli jej moment bezwładności ogólnie będzie miał postać:

$I=m{r}^2$  

gdzie $m$  jest planety, $r$  jest jej odległością od gwiazdy wokół, której krąży. Zatem momenty bezwładności Ziemi w aphelium i i peryhelium będą wynosiły:

$I_a=M{r}_a^2$  

$I_p=M{r}_p^2$  

Szybkością kątowe Ziemi w tych odległościach będą miały postać:

${\omega }_a=\frac{v_a}{r_a}$  

${\omega }_p=\frac{v_p}{r_p}$  

Zatem momenty pędu Ziemi w peryhelium i aphelium będą miały postać:

$L_a=I_a{\omega }_a=M{r}_a^2\frac{v_a}{r_a}=M{r}_a{v}_a$  

$L_p=I_p{\omega }_p=M{r}_p^2\frac{v_p}{r_p}=M{r}_p{v}_p$  

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu wyznaczamy szybkość Ziemi w peryhelium w jej ruchu orbitalnym:

$L_p=L_a$  

$\cancel{M}{r}_p{v}_p=\cancel{M}{r}_a{v}_a\mid :r_p$  

$v_p=\frac{r_a}{r_p}{v}_a$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_p=\frac{152\text{mln}\text{km}}{147\text{mln}\text{km}}\cdot 29,3\frac{\text{km}}{\text{s}}\approx 1,034\cdot 29,3\frac{\text{km}}{\text{s}}=$  

$=30,2962\frac{\text{km}}{\text{s}}\approx 30,3\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

Zatem różnica szybkości w peryhelium i aphelium wynosi:

$\Delta v=v_p-v_a$  

$\Delta v\approx 30,3\frac{\text{km}}{\text{s}}-29,3\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

$\Delta v\approx 1\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

 

$b)$  

Moment pędu na orbicie jest stały. Obliczymy go korzystając z danych dla Ziemi znajdującej się w aphelium:

$L_a=M{r}_a{v}_a$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$L_a=6\cdot {10}^{24}\text{kg}\cdot 152\text{mln}\text{km}\cdot 29,3\frac{\text{km}}{\text{s}}=$  

$=6\cdot {10}^{24}\text{kg}\cdot 152\cdot {10}^6\text{km}\cdot 29,3\frac{\text{km}}{\text{s}}=$  

$=6\cdot {10}^{24}\text{kg}\cdot 152\cdot {10}^6\cdot {10}^3\text{m}\cdot 29,3\cdot {10}^3\frac{\text{m}}{\text{s}}=$  

$=6\cdot 152\cdot 29,3\cdot {10}^{24+6+3+3}\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{\text{s}}=26721,6\cdot {10}^{36}\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{\text{s}}=$  

$=2,67216\cdot {10}^4\cdot {10}^{36}\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{\text{s}}\approx 2,7\cdot {10}^{40}\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{\text{s}}$