Dane:

$M=26\text{kg}$  

$m=4\text{kg}$  

$r=16\text{cm}=0,16\text{m}$  

$R=80\text{cm}=0,8\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$\frac{F_{g.M}}{F}=?$

Rozwiązanie:

Zacznijmy od wyznaczenia sił działających na układ. Ponieważ porusza się on ruchem jednostajnym to oznacza, że wartości sił naciągu ${\vec{F}}_N$  nici działające po obu stronach bloczka ma taką samą wartość (wynika to z rozpisania I zasady dynamiki dla ruchu obrotowego bloczka). Na pojemnik działa siła ciężkości ${\vec{F}}_{g.M}$ , na bloczek działa siła ciężkości bloczka ${\vec{F}}_{g.m}$ , na kołowrót działa siła naciągu nici ${\vec{F}}_N$  oraz siła działająca na korbę kołowrotu $\vec{F}$ . Wykonajmy schematyczny rysunek i zaznaczmy te siły:

Wartości sił ciężkości mają postać:

$F_{g.m}=mg$  

gdzie:

$F_{g.m}$ - wartość siły ciężkości bloczka,

$m$ - masa bloczka,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

oraz:

$F_{g.M}=Mg$  

gdzie:

$F_{g.M}$ - wartość siły ciężkości pojemnika,

$M$ - masa pojemnika.

Układ porusza się ruchem jednostajnym, czyli zgodnie z I zasada dynamiki dla ruchu postępowego suma wartości sił zwróconych w górę będzie równa sumie wartości sił zwróconych w dół. Otrzymamy zatem równanie:

$F_N+F_N=F_{g.m}+F_{g.M}$  

gdzie:

$F_N$ - wartość występującej siły naciągu liny.

Stąd:

$2F_N=mg+Mg|:2$  

$F_N=\frac{1}{2}\left(mg+Mg\right)$  

$F_N=\frac{1}{2}\left(m+M\right)g$  

Korzystając z warunku równowagi otrzymujemy dla kołowrotu wyznaczamy wartość siły, z jaka należy działać na ramię kołowrotu:

$RF=r{F}_N$  

gdzie:

$R$ - długość ramienia korby,

$r$ - promień kołowrotu,

$F$ - wartość przyłożonej siły,

$F_N$ - siła naciągu liny.

Zatem:

$RF=r\cdot \frac{1}{2}\left(m+M\right)g\mid :R$  

$F=\frac{r}{2R}\left(m+M\right)g$  

Obliczmy ile razy siła działająca na korbę jest mniejsza od siły ciężkości pojemnika:

$\frac{F_{g.M}}{F}=\frac{Mg}{\frac{r}{2R}\left(m+M\right)g}$  

$\frac{F_{g.M}}{F}=\frac{M}{\frac{r}{2R}\left(m+M\right)}$  

$\frac{F_{g.M}}{F}=\frac{2R}{r}\frac{M}{m+M}$  

$\frac{F_{g.M}}{F}=\frac{2\cdot 0,8\text{m}}{0,16\text{m}}\cdot \frac{26\text{kg}}{4\text{kg}+26\text{kg}}$  

$\frac{F_{g.M}}{F}=\frac{1,6\text{m}}{0,16\text{m}}\cdot \frac{26\text{kg}}{30\text{kg}}$  

$\frac{F_{g.M}}{F}=10\cdot \frac{13}{15}$  

$\frac{F_{g.M}}{F}=\frac{26}{3}$  

$\frac{F_{g.M}}{F}\approx 8,7$  

Odpowiedź: Siła działająca na ramię jest około 8,7 razy mniejsza od siły ciężkości pojemnika.

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$h=?$

Rozwiązanie:

Jeżeli korba wykona jeden obrót to zwinięta zostanie nić o długości odpowiadającej obwodowi kołowrotu:

$L=2\pi r$  

gdzie:

$L$ - obwód kołowrotu,

$r$ - promień kołowrotu.

Wówczas nić przy bloczku musi się skrócić o dokładnie taką samą długość. Ponieważ jednak przy bloczku mamy nić z obu stron to znaczy, że z obu stron skraca się tyle samo i powodu, że bloczek podnosi się na wysokość $h$ . Zatem przy bloczku z każdej strony nić skróci się o długość $h$ . Oznacza to, że możemy zapisać:

$h+h=L$  

gdzie:

$h$ - wysokość podniesienia ładunku.

$\cancel{2}h=\cancel{2}\pi r$  

$h=\pi r$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$h=3,14\cdot 0,16\text{m}=0,5024\text{m}\approx 0,5\text{m}$  

Odpowiedź: Pojemnik podniesie się o około 0,5 m.

 

$\mathbf{c})$  

Szukane:

$W_{\text{urządzenia}}=?$ 

$W_{\text{podnoszenia}}=?$

Rozwiązanie:

Wiemy, że sprawność urządzenia wynosi 100%. Zatem praca wykonana przez to urządzenie przy podnoszeniu pojemnika z blokiem odpowiada zmianie jego energii potencjalnej, czyli praca wykona przy pomocy urządzenia ma postać:

$W_{\text{urządzenia}}=\left(m+M\right)gh$  

gdzie:

$W_{\text{urządzenia}}$- praca wykonana przez urządzenie,

$m$ - masa bloczka,

$M$ - masa pojemnika,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość podniesienia ładunku.

Korzystając z zależności z poprzedniego podpunktu otrzymamy:

$W_{\text{urządzenia}}=\left(m+M\right)gh$

$W_{\text{urządzenia}}=\pi \left(m+M\right)gr$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W_{\text{urządzenia}}=3,14\cdot \left(4\text{kg}+26\text{kg}\right)\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,16\text{m}=$

$=3,14\cdot 30\text{kg}\cdot 1,6\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=150,72\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=$

$=150,72\text{J}\approx 150\text{J}$

Jeżeli będzie podnosić pojemnik z blokiem na taką samą wysokość jak urządzenie to musimy przeciwdziałać siłom ciężkości na drodze $h$ . Praca wykonana przy przezwyciężaniu siły ciężkości bloczka ma postać:

$W_m=F_{g.m}h$  

$W_m=mgh$

gdzie:

$W_m$ - praca przy podnoszeniu bloczka,

$F_{g.m}$ - siła ciężkości bloczka.

Natomiast praca wykonana przy przezwyciężaniu siły ciężkości pojemnika ma postać:

$W_M=F_{g.M}h$  

$W_M=Mgh$

gdzie:

$W_M$ - praca przy podnoszeniu pojemnika,

$F_{g.M}$ - siła ciężkości pojemnika.

Zatem całkowita praca jaką musimy wykonać wynosi wówczas:

$W_{\text{podnoszenia}}=W_m+W_M$  

gdzie:

$W_{\text{podnoszenia}}$ - praca wykonana podczas podnoszenia ładunku.

Stąd:

$W_{\text{podnoszenia}}=mgh+Mgh$  

$W_{\text{podnoszenia}}=\left(m+M\right)gh$  

$W_{\text{podnoszenia}}\approx \left(4\text{kg}+26\text{kg}\right)\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,5\text{m}$  

$W_{\text{podnoszenia}}\approx 150\text{J}$  

Zatem:

$W_{\text{urządzenia}}=W_{\text{podnoszenia}}\approx 150\text{J}$

Odpowiedź: Wykonalibyśmy pracę równą około 150 J.