Ładunek elektryczny o wartości q₀ = -2 μC umieszczono...- Zadanie Zadanie 47.12: Fizyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$q_{0} = - 2 μ C = - 2 \cdot 1 0^{- 6} C$

$Q = 2 nC = 2 \cdot 1 0^{- 9} C$

$l = 16, 5 cm = 0, 165 m$

$d = 3 cm = 0, 03 m$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała elektryczna w próżni: $k = 9 \cdot 1 0^{9} N \cdot \frac{m ^{2}}{C ^{2}}$ .

$a)$

Szukane:

$W = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie pracy, jaką należałoby wykonać, aby ładunek elektryczny umieszony w pewnej odległości od jednorodnie naładowanej kuli przenieść do nieskończoności.

Pracę jaką wykonają siły wewnętrzne pola elektrostatycznego, aby ładunek $q_{0}$ przenieść z punktu A do B opisujemy wzorem:

$W_{A \to B} = q_{0} (V_{A} - V_{B})$

gdzie:

$W_{A \to B}$ - praca jaką wykonają siły pola przenosząc ładunek z punktu A do B,

$q_{0}$ - wartość ładunku przenoszonego w polu elektrycznym,

$V_{A}$ - potencjał pola w punkcie A tego pola,

$V_{B}$ - potencjał pola w punkcie B.

W naszym przypadku pracę wykonują siły zewnętrzne, czyli:

$W = - W_{A \to B}$

Początkowo ładunek znajduje się w konkretnej odległości od źródła pola, a następnie jest przenoszony do nieskończoności. Potencjał pola elektrycznego w danym punkcie pola wokół ładunku punktowego możemy przedstawić wzorem:

$V = \frac{k Q}{r}$

gdzie:

$V$ - potencjał pola elektrycznego,

$k$ - współczynnik proporcjonalności (stała elektryczna),

$Q$ - wartość ładunku będącego źródłem pola,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy potencjał od środka ładunku źródłowego.

W naszym przypadku ładunek próbny umieszony w hipotetycznym punkcie A znajduje się w odległości od środka ładunku źródłowego będącej sumą promienia kuli będącej źródłem ładunku oraz odległości ładunku próbnego od powierzchni tej kuli:

$r = r_{kuli} + l$

gdzie:

$r_{kuli}$ - promień kuli,

$l$ - odległość ładunku elektrycznego od powierzchni kuli.

Promień kuli jest połową jej średnicy, czyli:

$r_{kuli} = \frac{1}{2} d$

gdzie:

$d$ - średnica kuli.

Zatem potencjał pola w puncie, gdzie początkowo znajduje się ładunek ma postać:

$V_{A} = \frac{k Q}{r}$

$V_{A} = \frac{k Q}{r _{kuli} + l}$

$V_{A} = \frac{k Q}{\frac{1}{2} d + l}$

$V_{A} = \frac{k Q}{\frac{1}{2} ( d + 2 l )}$

$V_{A} = \frac{2 k Q}{d + 2 l}$

Następnie przenosimy ładunek $q_{0}$ na nieskończoną odległość $x$ od ładunku $Q$ . Potencjał pola elektrostatycznego w nieskończoności przedstawimy wzorem:

$V_{+ \infty} = \frac{k Q}{x}$

Wiemy, że jeżeli $x$ dąży do nieskończoności to potencjał pola przedstawić możemy jako granicę:

$V_{+ \infty} = x \to \infty lim + \infty ↓ \frac{k Q}{x}^{\to 0} = 0$

Zatem praca wykonana przy przenoszeniu ładunku ma postać:

$W = - W_{A \to B}$

$W = - q_{0} (V_{A} - V_{+ \infty})$

$W = - q_{0} (\frac{2 k Q}{d + 2 l} - 0)$

$W = - \frac{2 k q _{0} Q}{d + 2 l}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W = - \frac{2 \cdot 9 \cdot 1 0 ^{9} N \cdot \frac{m ^{2}}{C ^{2}} \cdot ( - 2 \cdot 1 0 ^{- 6} C ) \cdot 2 \cdot 1 0 ^{- 9} C}{0 , 03 m + 2 \cdot 0 , 165 m} =$

$= - \frac{- 72 \cdot 1 0 ^{- 6} N \cdot m ^{2}}{0 , 03 m + 0 , 33 m} = \frac{72 \cdot 1 0 ^{- 6} N \cdot m ^{2}}{0 , 36 m} =$

$= 200 \cdot 1 0^{- 6} N \cdot m = 200 \cdot 1 0^{- 6} J =$

$= 0, 2 \cdot 1 0^{- 3} J = 0, 2 mJ$

Odpowiedź: Aby przenieść ładunek elektryczny do nieskończoności należy wykonać pracę równą 0,2 mJ.

$b)$

Szukane:

$V = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie potencjału na jednorodnie naładowanej kuli. Na całej kuli potencjał jest jednakowy i odpowiada potencjałowi liczonemu od środka kuli do jej powierzchni, czyli:

$V = \frac{k Q}{r _{kuli}}$