Pomiędzy dwoma ładunkami dodatnimi o wartościach...- Zadanie Zadanie 47.9: Fizyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$q_{1} = 2 μ C = 2 \cdot 10^{- 6} C$

$q_{2} = 1 μ C = 1 \cdot 10^{- 6} C$

$q_{3} = 0, 5 μ C = 0, 5 \cdot 10^{- 6} C$

$d = 1 m$

Z tablic fizycznych odczytujemy, że:

$k = 9 \cdot 10^{9} \frac{N \cdot m ^{2}}{C ^{2}}$

Potencjał pola elektrostatycznego możemy przedstawić wzorem:

$V = \frac{k \cdot Q}{r}$

gdzie V jest potencjałem pola elektrostatycznego, k jest współczynnikiem proporcjonalności, Q jest ładunkiem źródłowym, r jest odległością ładunku źródłowego od miejsca badania potencjału pola elektrostatycznego. Wyznaczmy potencjały pola pochodzące od poszczególnych ładunków w punkcie A:

$V_{A 1} = \frac{k \cdot q _{1}}{\frac{1}{4} \cdot d} = \frac{4 \cdot k \cdot q _{1}}{d}$

$V_{A 2} = \frac{k \cdot q _{2}}{\frac{3}{4} \cdot d} = \frac{4 \cdot k \cdot q _{2}}{3 \cdot d}$

Korzystając z zasady superpozycji pól wyznaczmy potencjał w punkcie A:

$V_{A} = V_{A 1} + V_{A 2}$

$V_{A} = \frac{4 \cdot k \cdot q _{1}}{d} + \frac{4 \cdot k \cdot q _{2}}{3 \cdot d}$

$V_{A} = \frac{k}{d} \cdot (4 \cdot q_{1} + \frac{4 \cdot q _{2}}{3})$

Wyznaczmy potencjały pola pochodzące od poszczególnych ładunków w punkcie B:

$V_{B 1} = \frac{k \cdot q _{1}}{\frac{3}{4} \cdot d} = \frac{4 \cdot k \cdot q _{1}}{3 \cdot d}$

$V_{B 2} = \frac{k \cdot q _{2}}{\frac{1}{4} \cdot d} = \frac{4 \cdot k \cdot q _{2}}{d}$

Korzystając z zasady superpozycji pól wyznaczamy potencjał w punkcie B:

$V_{B} = V_{B 1} + V_{B 2}$

$V_{B} = \frac{4 \cdot k \cdot q _{1}}{3 \cdot d} + \frac{4 \cdot k \cdot q _{2}}{d}$

$V_{B} = \frac{k}{d} \cdot (\frac{4 \cdot q _{1}}{3} + 4 \cdot q_{2})$

Pracę jaką wykonają siły pola, aby ładunek q₀ przenieść z punktu A do B opisujemy wzorem:

$W_{A \to B} = q_{0} \cdot (V_{A} - V_{B})$

gdzie W_A→B jest pracą jaką należy wykonać, aby przenieść ładunek o wartości q₀ z miejsca o potencjale V_A do miejsca o potencjale V_B. Wyznaczmy pracę wykonaną przez siły pola przy przesunięciu ładunku:

$W_{A \to B} = q_{3} \cdot (V_{A} - V_{B})$

$W_{A \to B} = q_{3} \cdot (\frac{k}{d} \cdot (4 \cdot q_{1} + \frac{4 \cdot q _{2}}{3}) - \frac{k}{d} \cdot (\frac{4 \cdot q _{1}}{3} + 4 \cdot q_{2}))$

$W_{A \to B} = q_{3} \cdot \frac{k}{d} \cdot ((4 \cdot q_{1} + \frac{4 \cdot q _{2}}{3}) - (\frac{4 \cdot q _{1}}{3} + 4 \cdot q_{2}))$

$W_{A \to B} = q_{3} \cdot \frac{k}{d} \cdot (4 \cdot q_{1} + \frac{4 \cdot q _{2}}{3} - \frac{4 \cdot q _{1}}{3} - 4 \cdot q_{2})$

$W_{A \to B} = q_{3} \cdot \frac{k}{d} \cdot (\frac{12}{3} \cdot q_{1} + \frac{4 \cdot q _{2}}{3} - \frac{4 \cdot q _{1}}{3} - \frac{12}{3} \cdot q_{2})$

$W_{A \to B} = q_{3} \cdot \frac{k}{d} \cdot (\frac{8}{3} \cdot q_{1} - \frac{8}{3} \cdot q_{2})$

$W_{A \to B} = \frac{8}{3} \cdot q_{3} \cdot \frac{k}{d} \cdot (q_{1} - q_{2})$

$W_{A \to B} = \frac{8}{3} \cdot \frac{k}{d} \cdot (q_{1} - q_{2}) \cdot q_{3}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W_{A \to B} = \frac{8}{3} \cdot \frac{9 \cdot 10 ^{9} \frac{N \cdot m ^{2}}{C ^{2}}}{1 m} \cdot (2 \cdot 10^{- 6} C - 1 \cdot 10^{- 6} C) \cdot 0, 5 \cdot 10^{- 6} C =$