Dane:

$q_1=15\text{nC}=15\cdot {10}^{-9}\text{C}$  

$q_2=-60\text{nC}=-60\cdot {10}^{-9}\text{C}$   

$d=15\text{cm}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała elektryczna: $k=9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$  .

Szukane:

$x=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie w jakiej odległości od pierwszego ładunku, znajduje się punkt, w którym natężenie pola elektrostatycznego jest równe zeru. 

Wykonajmy rysunek pomocniczy, na którym zaznaczamy punkt gdzie wypadkowe natężenie jest zerowe. Wiemy, że natężenie pola zeruje się na linii łączącej ładunki jeśli ładunki są jednoimienne a poza ich układem jeśli ładunki są różnoimienne. Zerowanie następuje przy ładunku o mniejszej wartości. 

Wartość natężenia pola elektrostatycznego w danym punkcie wyznaczymy poprzez zsumowanie natężeń pól pochodzących od poszczególnych ładunków - jest to zasada superpozycji.

Wartość natężenia centralnego pola elektrostatycznego w danym punkcie pola wyznaczamy korzystając z wzoru:

$E=\frac{kQ}{r^2}$

gdzie:

$E$ - wartość natężenia centralnego pola elektrycznego,

$k$ - współczynnik proporcjonalności (stała elektryczna),

$Q$ - wartość ładunku będącego źródłem pola,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy natężenie od ładunku źródłowego.

Wyznaczmy wartości wektora natężenia pola pochodzące od poszczególnych ładunków:

$E_1=\frac{k\cdot \left|q_1\right|}{x^2}$  

$E_2=\frac{k\cdot \left|q2\right|}{{\left(d+x\right)}^2}$  

Wiemy, że natężenie jest wielkością wektorową, aby natężenie w pewnym punkcie wynosiło zero (ładunki mają przeciwne wartości) to wektory natężenia będą miały tą samą długość, ten sam kierunek i przeciwne zwroty. Z tego wynika, że ich wartości powinny być równe:

$E_1=E_2$   

$\frac{k\cdot \left|q_1\right|}{x^2}=\frac{k\cdot \left|q_2\right|}{{\left(d+x\right)}^2}\mid :k$   

$\frac{\left|q_1\right|}{x^2}=\frac{\left|q_2\right|}{{\left(d+x\right)}^2}\mid \sqrt{}$  

$\frac{\sqrt{\left|q_1\right|}}{x}=\frac{\sqrt{\left|q_2\right|}}{d+x}$  

Wymnażamy na krzyż:

$\sqrt{\left|q_2\right|}\cdot x=\sqrt{\left|q_1\right|}\cdot \left(d+x\right)$  

$\sqrt{\left|q_2\right|}\cdot x=\sqrt{\left|q_1\right|}\cdot d+\sqrt{\left|q_1\right|}\cdot x\mid -\sqrt{\left|q_1\right|}\cdot x$  

Grupujemy wyrazy:

$\sqrt{\left|q_1\right|}\cdot x-\sqrt{\left|q_2\right|}\cdot x=\sqrt{\left|q_1\right|}\cdot d$  

Wyciągamy szukaną przed nawias:

$\left(\sqrt{\left|q_2\right|}-\sqrt{\left|q_1\right|}\right)\cdot x=\sqrt{\left|q_1\right|}\cdot d\mid :\left(\sqrt{\left|q_2\right|}-\sqrt{\left|q_1\right|}\right)$  

$x=\frac{\sqrt{\left|q_1\right|}}{\sqrt{\left|q_2\right|}-\sqrt{\left|q_1\right|}}\cdot d$   

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=\frac{\sqrt{\left|15\cdot {10}^{-9}\text{C}\right|}}{\sqrt{\left|-60\cdot {10}^{-9}\text{C}\right|}-\sqrt{\left|15\cdot {10}^{-9}\text{C}\right|}}\cdot 15\text{cm}=$   

$=\frac{\sqrt{15\cdot {10}^{-9}\text{C}}}{\sqrt{60\cdot {10}^{-9}\text{C}}-\sqrt{15\cdot {10}^{-9}\text{C}}}\cdot 15\text{cm}=$   

$=\frac{\sqrt{1,5\cdot {10}^{-8}\text{C}}}{\sqrt{6\cdot {10}^{-8}\text{C}}-\sqrt{1,5\cdot {10}^{-8}\text{C}}}\cdot 15\text{cm}=$   

$=\frac{\sqrt{1,5\cdot {10}^{-8}\text{C}}}{\sqrt{4\cdot 1,5\cdot {10}^{-8}\text{C}}-\sqrt{1,5\cdot {10}^{-8}\text{C}}}\cdot 15\text{cm}=$

$=\frac{\sqrt{1,5\cdot {10}^{-8}\text{C}}}{2\sqrt{1,5\cdot {10}^{-8}\text{C}}-\sqrt{1,5\cdot {10}^{-8}\text{C}}}\cdot 15\text{cm}=$

W mianowniku wykonujemy odejmowanie:

$=\frac{\cancel{\sqrt{1,5\cdot {10}^{-8}}\text{C}}}{\cancel{\sqrt{1,5\cdot {10}^{-8}\text{C}}}}\cdot 15\text{cm}=15\text{cm}$

Odpowiedź: Punkt ten znajduje się w odległości 15 cm od pierwszego ładunku.