Dane:

$d_{\text{m}}=5\text{cm}$

$d_{\text{w}}=5,03\text{cm}$

${\lambda }_{\text{m}}=0,18\cdot 10^{-4}\frac{1}{\text{K}}$

Szukane:

$\Delta T=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie, o ile stopni należy ogrzać kulkę wykonaną z mosiądzu, aby nie przeszła przez pierścień. W treści mamy podane, że średnia kulki wynosi $d_{\text{m}}$, natomiast średnica wewnętrzna pierścienia wynosi $d_{\text{w}}$. Średnica kulki jest mniejsza od średnicy pierścienia, co pozwala jej swobodnie przez niego przejść

$d_{\text{m}}<d_{\text{w}}$

Gdyby jednak średnica kulki była równa lub większa od średnicy wewnętrznej pierścienia, to kulka nie przejdzie przez pierścień. Zauważmy, że istnieje zjawisko rozszerzalności temperaturowej, dzięki któremu podgrzanie kulki powoduje zwiększenie jej rozmiarów, w tym także średnicy. W wyniku tego kulka może stać się zbyt duża, by przejść przez pierścień. W naszym przypadku interesuje nas sytuacja, w której średnica kulki osiągnie długość średnicy wewnętrznej pierścienia. Zmianę długości średnicy kulki opiszemy więc wzorem:

$\Delta d=d_{\text{w}}-d_{\text{m}}$

gdzie:

$\Delta d$ - zmiana średnicy kulki,

$d_{\text{w}}$ - długość średnicy wewnętrznej pierścienia,

$d_{\text{m}}$ - długość średnicy kulki przed podgrzaniem.

Współczynnik rozszerzalności liniowej ciała przedstawiamy zależnością:

$\lambda =\frac{\Delta l}{l_0\Delta T}$

gdzie:

$\alpha$ - współczynnik rozszerzalności liniowej,

$\Delta l$ - zmiana długości,

$l_0$ - początkowa długość ciała,

$\Delta T$ - zmiana temperatury ciała.

Przekształcamy powyższy wzór:

$\lambda =\frac{\Delta l}{l_0\Delta T}|\cdot \Delta T$

$\lambda \Delta T=\frac{\Delta l}{l_0}|:\lambda$

$\Delta T=\frac{\Delta l}{l_0\lambda }$

W naszym przypadku wzór ten przyjmie postać:

$\Delta T=\frac{\Delta d}{d_{\text{m}}{\lambda }_{\text{m}}}$

$\Delta T=\frac{d_{\text{w}}-d_{\text{m}}}{d_{\text{m}}{\lambda }_{\text{m}}}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$\Delta T=\frac{5,03\text{cm}-5\text{cm}}{5\text{cm}\cdot 0,18\cdot 10^{-4}\frac{1}{\text{K}}}=$

$=\frac{0,03\cancel{\text{cm}}}{5\cdot 0,18\cdot 10^{-4}\cancel{\text{cm}}\cdot \frac{1}{\text{K}}}=$

$=\frac{0,03}{0,9}\frac{1}{10^{-4}}\frac{1}{\frac{1}{\text{K}}}=$

$\approx 0,0333\cdot 10^4\text{K}=333\text{K}$   

Mamy tutaj do czynienia ze zmianą temperatury. Oznacza to, że zmiana temperatury w kelwinach będzie wynosiła tyle samo, co zmiana temperatury w stopniach Celsjusza. Zapiszemy więc:

$\Delta t=333^{\circ }\text{C}$

Odpowiedź: Należy ogrzać kulę o co najmniej około $333^{\circ }\text{C}$ (lub $333\text{K}$), aby nie mogła przejść przez pierścień.