Do aluminiowego kubka o masie...- Zadanie 1: Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$m_{t} = 50 g = 0, 05 kg$

$V_{1} = 150 ml = 0, 15 l = 0, 15 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}$

$t_{1} = 70^{\circ} C$

$T_{1} = (70 + 273) K = 343 K$

$t_{k} = 55^{\circ} C$

$T_{K} = (55 + 273) K = 328 K$

$V_{2} = 60 ml = 0, 06 l = 0, 06 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}$

Szukane:

$t_{2} = ?$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ ciepło właściwe wody: $c_{w} = 4200 \frac{J}{kg \cdot K}$ ,

▶ ciepło właściwe aluminium: $c_{A l} = 903 \frac{J}{kg \cdot K}$ ,

▶ gęstość wody: $d_{w} = 1000 \frac{kg}{m ^{3}}$ .

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie temperatury początkowej wody użytej do schłodzenia wody w kubku. Zgodnie z treścią zadania wiemy, że do wody o objętości $V_{1}$ dolano wodę o objętości $V_{2}$ ⁣, aby ją schłodzić. Temperatura wody w termosie wyrównała się. Zatem ciepło oddane przez wodę o objętości $V_{1}$ i aluminiowy termos jest równe ciepłu pobranemu przez wodę o objętości $V_{1}$ .

CIEPŁO A PRZYROST TEMPERATURY

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury ciała wyraża się wzorem:

$Q = m c Δ T$

gdzie:

$Q$ - ciepło oddane lub pobrane przez ciało,

$m$ - masa ciała,

$c$ - ciepło właściwe substancji, z której wykonano ciało,

$Δ T$ - zmiana temperatury ciała.

Ciepło oddane przez wodę o objętości $V_{1}$ zapiszemy:

$Q_{1} = m_{1} c_{w} (T_{1} - T_{k})$

gdzie:

$Q_{1}$ - ciepło oddane przez wodę o objętości $V_{1}$ ,

$m_{1}$ - masa wody o objętości $V_{1}$ ,

$c_{w}$ - ciepło właściwe wody,

$T_{1}$ - temperatura początkowa wody w termosie,

$T_{k}$ - temperatura końcowa wody w termosie.

Ciepło oddane przez aluminiowy termos wyznaczymy:

$Q_{t} = m_{t} c_{A l} (T_{1} - T_{k})$

gdzie:

$Q_{t}$ - ciepło oddane przez termos,

$m_{t}$ - masa termosu,

$c_{A l}$ - ciepło właściwe aluminium.

Ciepło pobrane przez wodę o objętości $V_{2}$ zapiszemy:

$Q_{2} = m_{2} c_{w} (T_{k} - T_{2})$

gdzie:

$Q_{2}$ - ciepło pobrane przez wodę o objętości $V_{2}$ ,

$m_{2}$ - masa wody o objętości $V_{2}$ ,

$T_{2}$ - temperatura chłodniejszej wody.

Zgodnie z zasadą bilansu cieplnego możemy zapisać, że:

$Q_{1} + Q_{t} = Q_{2}$

Wówczas:

$m_{1} c_{w} (T_{1} - T_{k}) + m_{t} c_{A l} (T_{1} - T_{k}) = m_{2} c_{w} (T_{k} - T_{2})$

Nie znamy mas, jednak znamy objętości mieszających się wód w termosie. Skorzystajmy z definicji gęstości.

GĘSTOŚĆ

Korzystając, z definicji gęstości wiemy, że:

$d = \frac{m}{V}$

gdzie:

$d$ - gęstość ciała,

$m$ - masa ciała,

$V$ - objętość ciała.

Wówczas:

$d_{w} = \frac{m _{1}}{V _{1}}$

gdzie:

$d_{w}$ - gęstość wody,

$V_{1}$ - objętość wody początkowo znajdującej się w termosie.

$d_{w} = \frac{m _{1}}{V _{1}} ∣ \cdot V_{1}$

$V_{1} d_{w} = m_{1}$

$m_{1} = V_{1} d_{w}$

Analogicznie:

$m_{2} = V_{2} d_{w}$

gdzie:

$V_{2}$ - objętość dolanej wody.

Podstawiając te zależności:

$m_{1} c_{w} (T_{1} - T_{k}) + m_{t} c_{A l} (T_{1} - T_{k}) = m_{2} c_{w} (T_{k} - T_{2})$

$V_{1} d_{w} c_{w} (T_{1} - T_{k}) + m_{t} c_{A l} (T_{1} - T_{k}) = V_{2} d_{w} c_{w} (T_{k} - T_{2})$

Wyznaczmy szukaną temperaturę $T_{2}$ :

$V_{1} d_{w} c_{w} (T_{1} - T_{k}) + m_{t} c_{A l} (T_{1} - T_{k}) = V_{2} d_{w} c_{w} (T_{k} - T_{2}) ∣ : V_{2} d_{w} c_{w}$

$\frac{( V _{1} d _{w} c _{w} + m _{t} c _{A l} ) ( T _{1} - T _{k} )}{V _{2} d _{w} c _{w}} = T_{k} - T_{2} ∣ + T_{2}$

$T_{2} + \frac{( V _{1} d _{w} c _{w} + m _{t} c _{A l} ) ( T _{1} - T _{k} )}{V _{2} d _{w} c _{w}} = T_{k} - \frac{( V _{1} d _{w} c _{w} + m _{t} c _{A l} ) ( T _{1} - T _{k} )}{V _{2} d _{w} c _{w}}$

$T_{2} = T_{k} - \frac{( V _{1} d _{w} c _{w} + m _{t} c _{A l} ) ( T _{1} - T _{k} )}{V _{2} d _{w} c _{w}}$

Podstawmy dane liczbowe:

$T_{2} = 338 K - \frac{( 0 , 15 \cdot 1 0 ^{- 3} m ^{3} \cdot 1000 \frac{kg}{m ^{3}} \cdot 4 200 \frac{J}{kg \cdot K} + 0 , 05 kg \cdot 903 \frac{J}{kg \cdot K} ) ( 343 K - 328 K )}{0 , 06 \cdot 1 0 ^{- 3} m ^{3} \cdot 1000 \frac{kg}{m ^{3}} \cdot 4 200 \frac{J}{kg \cdot K}} =$