Wahadło matematyczne o okresie T = 8 s w chwili t = 0 s przechodziło przez...- Zadanie Zadanie 3. Wahadło matematyczne: Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$T = 8 s$

$t_{0} = 0 s$

$t_{1} = 3 s$

$x (t_{1}) = 1 cm = 0, 01 m$

$t_{2} = 4 s$

$m = 500 g$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g = 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$ .

$3.1.$

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest wybranie prawidłowego dokończenia zdania. Musimy ustalić, w jakim położeniu jest wahadło w chwili $t = 3 s$ . Ponieważ okres drgań wahadła wynosi $8 s$ , to jedna czwarta tego okresu będzie wynosić $2 s$ . Wówczas jeżeli na początku wahadło znajdowało się w położeniu równowagi, to po $2 s$ odchyliło się w do maksymalnego wychylenia. Zatem zacznie wracać do położenia równowagi, po $3 s$ wahadło zbliża się do położenia równowagi.

Odpowiedź:

W chwili $t = 3 s$ wahadło $C .$ zbliżało się do położenia równowagi.

$3.2.$

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest wymienienie czterech kolejnych chwil, w których wahadło znajdowało się w takiej samej odległości od położenia równowagi jak w chwili $t = 0, 5 s$ . Wyznaczmy równanie opisujące wychylenie wahadła od czasu.

RUCH DRGAJĄCY - POŁOŻENIE

Wychylenie ciała w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością:

$x (t) = A sin (ω t)$

gdzie:

$x$ - wychylenie ciała po zadanym czasie,

$t$ - czas,

$A$ - amplituda,

$ω$ - częstość drgań.

Zgodnie z treścią zadania, wiemy, że wahadło w chwili $t_{1} = 3 s$ znajdowało się w odległości $1 cm$ od położenia równowagi, zatem:

$x (t_{1}) = 1 cm = 0, 01 m$

gdzie:

$x (t_{1})$ - położenie wahadła w chwili $t_{1}$ .

Podstawmy te dane do zależności opisującej wychylenie wahadła od czasu:

$x (t_{1}) = A sin (ω t_{1})$

$x (t_{1}) = A sin (ω \cdot 3 s) = 0, 01 m$

Znając okres wyznaczamy jego częstość drgań:

CZĘSTOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ

Częstość kołową drgań wyrażamy jako:

$ω = \frac{2 π}{T}$

gdzie:

$ω$ - częstość kołowa drgań,

$π$ - liczba π,

$T$ - okres drgań.

$ω = \frac{2 π}{T}$

Podstawiając dane liczbowe:

$ω = \frac{2 π}{8 s} = \frac{π}{4} \frac{1}{s}$

Zatem:

$A sin (ω \cdot 3 s) = 0, 01 m$

$A sin (\frac{π}{4} \frac{1}{s} \cdot 3 s) = 0, 01 m$

$A sin (\frac{3}{4} π) = 0, 01 m$

$A \frac{2}{2} = 0, 01 m : \frac{2}{2}$

$A = \frac{2}{100} m$

Wówczas zależność wychylenia wahadła od czasu będzie wynosić:

$x (t) = \frac{2}{100} sin (\frac{π}{4} t)$

Wyznaczmy wychylenie ciała po $t = 0, 5 s$ :

$x (0, 5) = \frac{2}{100} sin (\frac{π}{4} \cdot 0, 5) = 0, 005 m$

Wahadło po czasie $t = 0, 5 s$ było wychylone o $0, 005 m$ . Aby wyznaczyć chwile, w których wahadło znajdowało się w takiej samej odległości od położenia równowagi niezależnie od strony, w którą zostało wychylone, narysujmy wykres zależności wychylenia wahadła od czasu oraz proste $x = 0, 005 m$ , $x = - 0, 005 m$ i odczytajmy przecięcia tych funkcji:

Odpowiedź:

Cztery kolejne chwile, w których wahadło znajdowało się w takiej samej odległości od położenia równowagi jak w chwili $0, 5 s$ to $3, 5 s$ , $4, 5 s$ , $7, 5 s$ oraz $8, 5 s$ .

$3.3.$

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie kąta między nicią wahadła a pionem w chwili $t_{1}$ . Skorzystajmy z wychylenia wahadła dla czasu $t_{1}$ , narysujmy kąt między nicią a pionem:

gdzie:

$l$ - długość nici wahadła,

$x (t_{1})$ - wychylenie wahadła dla czasu $t_{1}$ ,

$α$ - kąt między nicią wahadła a pionem w chwili $t_{1}$ .

Skorzystajmy z funkcji sinus:

$sin α = \frac{x ( t _{1} )}{l}$

Pozostaje wyznaczyć nam długość nici wahadła. Skorzystajmy z okresu drgań wahadła matematycznego.

WAHADŁO MATEMATYCZNE - OKRES DRGAŃ

Okres ruchu drgań wahadła matematycznego przedstawiamy wzorem:

$T = 2 π \frac{l}{g}$

gdzie:

$T$ - okres drgań wahadła,

$π$ - liczba π (pi),

$l$ - długość wahadła,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

$T = 2 π \frac{l}{g}$

gdzie:

$T$ - okres wahadła.

$T = 2 π \frac{l}{g} ∣ : 2 π$

$\frac{T}{2 π} = \frac{l}{g}^{2}$

$\frac{T ^{2}}{4 π ^{2}} = \frac{l}{g} ∣ \cdot g$

$\frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}} = l$

$l = \frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}}$

Podstawmy tę zależność do funkcji sinus:

$sin α = \frac{x ( t _{1} )}{l}$

$sin α = \frac{x ( t _{1} )}{\frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}}}$

$sin α = \frac{4 π ^{2} x ( t _{1} )}{g T ^{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$sin α = \frac{4 π ^{2} \cdot 0 , 01 m}{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot ( 8 s ) ^{2}} = \frac{4 π ^{2} \cdot 0 , 01 m}{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 64 s ^{2}} \approx 0, 000 628$

Funkcja sinus przyjmuje wartość $0, 000 628$ dla kąta:

$α \approx 0, 036^{\circ}$

Odpowiedź:

W chwili $t_{1}$ wahadło jest odchylone od pionu o $0, 036^{\circ}$ .

$3.4.$

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest obliczenie maksymalnego kąta wychylenia między nicią a pionem. Maksymalny kąt wychylenia otrzymujemy dla maksymalnego wychylenia wahadła z położenia równowagi. Maksymalnym wychyleniem z położenia równowagi nazywamy amplitudą. Z podpunktu $3.2.$ wyznaczyliśmy wartość amplitudy:

$A = \frac{2}{100} m$

gdzie:

$A$ - amplituda.

W podpunkcie $3.3.$ wyprowadziliśmy zależność kąta między nicią wahadła a pionem. Dla wychylenia $A$ funkcja sinus przyjmie wartość:

$sin α_{max} = \frac{4 π ^{2} A}{g T ^{2}}$

gdzie:

$α_{m a x}$ - maksymalne wychylenie wahadła z położenia równowagi.

Podstawmy dane liczbowe:

$sin α_{max} = \frac{4 π ^{2} \cdot \frac{2}{100} m}{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot ( 8 s ) ^{2}} = \frac{4 π ^{2} \cdot 0 , 014142 m}{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 64 s ^{2}} \approx 0, 000 888$

Funkcja sinus przyjmuje wartość $0, 000 888$ dla kąta:

$α_{m a x} \approx 0, 05^{\circ}$

Odpowiedź:

Maksymalny kąt między nicią wahadła a pionem wynosi $0, 0 5^{\circ}$ .

$3.5.$

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości wypadkowej siły, działającej na kulę wahadła, w chwili $t_{2}$ . Wówczas z wykresu w podpunkcie $3.2.$ wynika, że ciało wówczas znajdowało się w położeniu równowagi. Kulka wahadła porusza się po okręgu, zatem siła wypadkowa działająca na kulę pełni funkcję siły dośrodkowej.

WARTOŚĆ SIŁY DOŚRODKOWEJ

Wartość siły dośrodkowej możemy przedstawić wzorem:

$F_{d} = \frac{m v ^{2}}{r}$

gdzie:

$F_{d}$ - wartość siły dośrodkowej działającej na ciało,

$m$ - masa ciała poruszającego się po okręgu,

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu,

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Wartość tej siły będzie wynosić:

$F_{w} = \frac{m v ^{2}}{l}$

gdzie:

$F_{w}$ - wartość siły wypadkowej działającej na kulę wahadła w położeniu równowagi,

$m$ - masa kuli wahadła,

$v$ - wartość prędkości kuli w położeniu równowagi,

$l$ - długość nici wahadła.

SZYBKOŚĆ LINIOWA A KĄTOWA

Zależność szybkości liniowej od szybkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v = ω r$

gdzie:

$v$ - szybkość liniowa,

$ω$ - szybkość kątowa,

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

W położeniu równowagi wartość prędkości będzie wynosiła:

$v = ω A$

WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI KĄTOWEJ

Wartość prędkości kątowej ciała w ruchu po okręgu możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$ω = \frac{2 π}{T}$

gdzie:

$ω$ - szybkość kątowa ciała,

$π$ - liczba pi,

$T$ - okres ruchu tego ciała.

$v = \frac{2 π A}{T}$

Zatem:

$F_{w} = \frac{m v ^{2}}{l}$

$F_{w} = \frac{m ( \frac{2 π A}{T} ) ^{2}}{l}$

$F_{w} = \frac{4 π ^{2} m A ^{2}}{l T ^{2}}$

Podstawiając wzór na długość wahadła wyprowadzony w podpunkcie $3.3.$ $l = \frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}}$ :

$F_{w} = \frac{4 π ^{2} m A ^{2}}{\frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}} T ^{2}}$

$F_{w} = \frac{16 π ^{4} m A ^{2}}{g T ^{4}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F_{w} = \frac{16 π ^{4} \cdot 0 , 5 kg \cdot ( \frac{2}{100} m ) ^{2}}{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot ( 8 s ) ^{4}} \approx$

$F_{w} \approx \frac{16 π ^{4} \cdot 0 , 5 kg \cdot 0 , 0002 m ^{2}}{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 4096 s ^{4}} = \frac{0 , 155536 kg \cdot m ^{2}}{40 181 , 76 m \cdot s ^{2}} \approx$