Na sprężynie o długości 20 cm zawieszono ciężarek o masie 50 g...- Zadanie 2: Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$l_{0} = 20 cm = 0, 2 m$

$l = 25 cm = 0, 25 m$

$m = 50 g = 0, 05 kg$

$A = 6 cm = 0, 06 m$

Przyjmujemy, że:

$g = 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$

$a)$

Mamy początkowo sytuację, w której mamy nierozciągniętą sprężynę o długości $x_{0}$ , gdy układ znajduje się w położeniu równowagi:

$x_{0} = l - l_{0}$

Skoro układ znajduje się wówczas w położeniu równowagi to siła sprężystości $x_{0}$ i współczynnika sprężystości $k$ :

$F_{s} = k x_{0}$

Wartość siły ciężkości przedstawimy jako masy $m$ i wartości przyspieszenia ziemskiego $g$ :

$F_{c} = m g$

Porównując te wzory możemy wyznaczyć wartość współczynnika sprężystości dla tej sprężyny:

$F_{s} = F_{c}$

$k x_{0} = m g ∣ : x_{0}$

$k = \frac{m g}{x _{0}}$

$k = \frac{m g}{l - l _{0}}$

Wiemy, że okres drgań $T$ ciała zawieszonego na sprężynie obliczamy za pomocą wzoru:

$T = 2 π \frac{m}{k}$

gdzie $m$ jest masą ciała zawieszonego na sprężynie o współczynniku sprężystości $k$ .

Wiemy, że częstotliwość $f$ jest odwrotnością okresu:

$f = \frac{1}{T}$

Oznacza to, że częstotliwość dla naszego przypadku przedstawimy za pomocą wzoru:

$f = \frac{1}{T}$

$f = \frac{1}{2 π \frac{m}{k}}$

$f = \frac{1}{2 π} \frac{k}{m}$

$f = \frac{1}{2 π} \frac{\frac{m g}{l - l _{0}}}{m}$

$f = \frac{1}{2 π} \frac{g}{l - l _{0}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f = \frac{1}{2 \cdot 3 , 14} \cdot \frac{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}}}{0 , 25 m - 0 , 2 m} =$

$= \frac{1}{6 , 28} \cdot \frac{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}}}{0 , 05 m} \approx$

$\approx 0, 15924 \cdot 196 \frac{1}{s ^{2}} = 0, 15924 \cdot 14 \frac{1}{s} =$

$= 2, 22936 \frac{1}{s} \approx 2, 23 \frac{1}{s} = 2, 23 Hz$

Odpowiedź: Częstotliwość drgań ciężarka wynosi około 2,23 Hz.

$b)$

Pytamy o energię kinetyczną ciężarka po czasie:

$t = 0, 6 s$

W treści zadania podane mamy, że ciężarek początkowo znajdował się w najniższym położeniu, czyli jego faza jest przesunięta o $\frac{3}{2} π$ . Początkowa szybkość w tym punkcie jest zerowa, czyli otrzymamy zależność szybkości od czasu wzorem:

$v (t) = A ω cos (ω t + φ)$

gdzie $A$ jest amplitudą, $ω$ jest częstością drgań, $t$ jest czasem, $φ$ jest fazą.

W naszym przypadku możemy zapisać, że:

$ω = 2 π f$

$φ = \frac{3}{2} π$

Wówczas szybkość tego ciężarka w podanym czasie będzie miała postać:

$v (t) = A ω cos (ω t + φ)$

$v (t) = A \cdot 2 π f cos (2 π f t + \frac{3}{2} π)$

$v (t) = A \cdot 2 π \cdot \frac{1}{2 π} \frac{g}{l - l _{0}} cos (2 π \cdot \frac{1}{2 π} \frac{g}{l - l _{0}} t + \frac{3}{2} π)$

$v (t) = A \frac{g}{l - l _{0}} cos (\frac{g}{l - l _{0}} t + \frac{3}{2} π)$

Wiemy, że:

$cos (α + \frac{3}{2} π) = sin α$

Wówczas:

$v (t) = A \frac{g}{l - l _{0}} sin (\frac{g}{l - l _{0}} t)$

Energię kinetyczną obliczamy za pomocą wzoru:

$E_{k} = \frac{m v ^{2}}{2}$

gdzie $m$ jest masą ciała poruszającego się z szybkością $v$ .

Wówczas dla naszego przypadku mamy:

$E_{k} = \frac{m v ( t ) ^{2}}{2}$

$E_{k} = \frac{m ( A \frac{g}{l - l _{0}} sin ( \frac{g}{l - l _{0}} t ) ) ^{2}}{2}$

$E_{k} = \frac{1}{2} m A^{2} \frac{g}{l - l _{0}} sin^{2} (\frac{g}{l - l _{0}} t)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_{k} = \frac{1}{2} \cdot 0, 05 kg \cdot (0, 06 m)^{2} \cdot \frac{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}}}{0 , 25 m - 0 , 2 m} \cdot sin^{2} (\frac{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}}}{0 , 25 m - 0 , 2 m} \cdot 0, 6 s) =$

$= 0, 5 \cdot 0, 05 kg \cdot 0, 0036 m^{2} \cdot \frac{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}}}{0 , 05 m} \cdot sin^{2} (\frac{9 , 81 \frac{m}{s ^{2}}}{0 , 05 m} \cdot 0, 6 s) =$

$= 0, 5 \cdot 0, 05 kg \cdot 0, 0036 m^{2} \cdot 196, 2 \frac{1}{s ^{2}} \cdot sin^{2} (196, 2 \frac{1}{s ^{2}} \cdot 0, 6 s) \approx$

$\approx 0, 017658 kg \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \cdot sin^{2} (8, 4042)$

W sinusie mamy miarę łukową. Zamieńmy ją na stopnie, aby móc skorzystać z tablic trygonometrycznych. Korzystamy z metody proporcji:

$π 180^{\circ}$

$8, 4042 α$

Wówczas:

$α = \frac{8 , 4042 \cdot 180 ^{\circ}}{π} = \frac{8 , 4042 \cdot 180 ^{\circ}}{3 , 14} \approx 2, 676 \cdot 180^{\circ} = 481, 68^{\circ} \approx 482^{\circ}$

Wiemy, że:

$sin (360^{\circ} + α) = sin α$

$sin (180^{\circ} - α) = sin α$

Wówczas otrzymamy, że:

$sin (8, 4042) \approx sin (482^{\circ}) = sin (360^{\circ} + 122^{\circ}) = sin (122^{\circ}) =$

$= sin (180^{\circ} - 58^{\circ}) = sin 58^{\circ} = 0, 848$

Otrzymujemy wówczas, że energia kinetyczna wynosi:

$E_{k} = 0, 017658 kg \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \cdot sin^{2} (8, 4042) = 0, 017658 J \cdot (0, 848)^{2} =$

$= 0, 017658 J \cdot 0, 719104 = 0, 0126 9793843 J \approx 0, 0127 J$

UWAGA! Różnice w odpowiedziach wynikają z przyjętych przybliżeń!

$c)$

Gdy ciężarek znajduje się w najwyższym położeniu to jego szybkość ma wówczas zerową wartość, a zatem energia kinetyczna wówczas również jest zerowa:

$E_{k} = 0$

Za poziom odniesienia energii potencjalnej ciężkości przyjmujemy położenie równowagi ciężarka. Zatem gdy ciężarek znajduje się w najwyższym położeniu to jego wychylenie od położenia równowagi równe jest amplitudzie, a zatem i wysokość odpowiada amplitudzie:

$h = A$

Wówczas energia potencjalna ciężkości ma postać:

$E_{p . c} = m g h$

$E_{p . c} = m g A$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_{p . c} = 0, 05 kg \cdot 9, 81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 0, 06 m = 0, 02943 kg \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}} =$

$= 0, 02943 J \approx 0, 029 J$

Energię potencjalną sprężystości obliczamy za pomocą wzoru:

$E_{p . s} = \frac{1}{2} k x^{2}$

gdzie $k$ jest współczynnikiem sprężystości sprężyny (wyznaczony w podpunkcie a), $x$ jest jej wydłużeniem.

Zauważmy, że wydłużenie sprężyny przedstawić możemy na rysunku jako:

Z tego wynika, że w naszym przypadku:

$x + x_{0} = A ∣ - x_{0}$

$x = A - x_{0}$

$x = A - (l - l_{0})$

$x = A - l + l_{0}$

Wówczas energia potencjalna sprężystości ma postać:

$E_{p . s} = \frac{1}{2} k x^{2}$

$E_{p . s} = \frac{1}{2} \frac{m g}{l - l _{0}} (A - l + l_{0})^{2}$

$E_{p . s} = \frac{m g ( A - l + l _{0} ) ^{2}}{2 ( l - l _{0} )}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E = \frac{0 , 05 kg \cdot 9 , 81 \frac{m}{s ^{2}} \cdot ( 0 , 06 m - 0 , 25 m + 0 , 2 m )}{2 \cdot ( 0 , 25 m - 0 , 2 m )} =$

$= \frac{0 , 4905 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot ( 0 , 01 m ) ^{2}}{2 \cdot 0 , 05 m} = \frac{0 , 4905 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot 0 , 0001 m ^{2}}{0 , 1 m} =$