Treść:

Z powierzchni Ziemi wypuszczono balon stratosferyczny mający szczelną, nierozciągliwą powłokę wypełnioną wodorem. Związek ciśnienia atmosferycznego z odległością od powierzchni Ziemi można opisać w przybliżeniu wzorem:

$\text{p}={\text{p}}_0\cdot 2^{-\frac{h}{5}}$  

gdzie:

p₀ – ciśnienie atmosferyczne na powierzchni Ziemi,
h – wysokość nad powierzchnią Ziemi wyrażona w kilometrach.

Wykaż, wykonując odpowiednie przekształcenia, że dokładną wartość ciężaru balonu na wysokości h nad powierzchnią Ziemi można obliczyć ze wzoru

$\text{F}=\text{m}\cdot \text{g}\cdot \frac{{\text{R}}_{\text{Z}}^2}{{\left({\text{R}}_{\text{Z}}+h\right)}^2}$  

gdzie: R_Z – promień Ziemi, g – wartość przyspieszenia ziemskiego na powierzchni Ziemi.

---

Rozwiązanie:

Zacznijmy od zapisania prawa powszechnego ciążenia dla balonu na wysokości h: 

$\text{F}=\text{G}\cdot \frac{{\text{M}}_{\text{Z}}\cdot \text{m}}{{\left({\text{R}}_{\text{Z}}+h\right)}^2}$  

oraz na ziemi:

${\text{F}}_{\text{Z}}=\text{G}\cdot \frac{{\text{M}}_{\text{Z}}\cdot \cancel{\text{m}}}{{\text{R}}_{\text{Z}}^2}=\cancel{\text{m}}\cdot \text{g}\text{: m}$  

$\text{G}\cdot \frac{{\text{M}}_{\text{Z}}}{{\text{R}}_{\text{Z}}^2}=\text{g}\text{/}\cdot {\text{R}}_{\text{Z}}^2$  

$\text{G}\cdot {\text{M}}_{\text{Z}}=\text{g}\cdot {\text{R}}_{\text{Z}}^2$  

Wstawiamy to wzoru na prawo powszechnego ciążenia dla balonu na wysokości h: 

$\text{F}=\frac{\text{g}\cdot {\text{R}}_{\text{Z}}^2\cdot \text{m}}{{\left({\text{R}}_{\text{Z}}+h\right)}^2}$  

$\text{F}=\text{m}\cdot \text{g}\cdot \frac{{\text{R}}_{\text{Z}}^2}{{\left({\text{R}}_{\text{Z}}+h\right)}^2}$