TREŚĆ:

Zadanie 6.

Uczniowie nawinęli izolowany drut miedziany na pudełko od zapałek $P$, które osadzili na obracającej się osi z dwoma przewodzącymi pierścieniami $P_1$ i $P_2$. Do tych pierścieni podłączyli końce nawiniętego drutu. Do pierścieni były dociśnięte blaszki $S_1$ i $S_2$, od których odprowadzono przewody. Pudełko znajdowało się między dwoma magnesami $M_1$ i $M_2$ o kształcie pierścieni. Wirnik z pudełka od zapałek można było obracać za pomocą korby $K$. Uczniowie obracali wirnik jednostajnie. 

Zadanie 6.5.

Pudełko $P$ ma długość $5\text{cm}$ i szerokość $2,5\text{cm}$, a liczba nawiniętych zwojów jest równa $100$. Pole magnetyczne w obszarze zajmowanym przez wirnik można uznać za jednorodne, a jego indukcja ma wartość $0,3\text{T}$. Wirnik prądnicy wykonuje $5$ obrotów na sekundę. Oblicz maksymalną i skuteczną wartość napięcia na zaciskach prądnicy.

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$a=5\text{cm}=0,05\text{m}$   

$b=2,5\text{cm}=0,025\text{m}$  

$n=100$  

$f=5\frac{1}{\text{s}}$  

$B=0,3\text{T}$  

Szukane:

$U_{\max }=\text{?}$  

$U_{sk}=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie maksymalnej oraz skutecznej wartości napięcia na zaciskach prądnicy. Skorzystajmy ze wzoru na siłę elektromotoryczną prądnicy złożonej z szeregowo połączonych ramek:

SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA PRĄDNICY SEM prądnicy złożonej z połączonych szeregowo ramek wyrażamy wzorem: $\mathcal{E}=n\omega BS\sin \left(\omega t\right)$ gdzie: $\mathcal{E}$ - siła elektromotoryczna prądnicy, $n$ - liczba nawiniętych ramek, $\omega$ - wartość prędkości kątowej ramek, $B$ - wartość indukcji pola magnetycznego, $S$ - pole powierzchni jednej ramki, $t$ - czas ruchu ramek.

Pole powierzchni ramki jest polem powierzchni prostokąta, czyli:

$S=ab$  

gdzie:

$a$  - bok pierwszy ramki,

$b$  - bok drugi ramki.

Nie znamy wartości prędkości kątowej, znamy jednej częstotliwość z jaką się ramki prądnicy poruszają.

SZYBKOŚĆ KĄTOWA A CZĘSTOTLIWOŚĆ Zależność szybkości kątowej od częstotliwości przedstawiamy wzorem: $\omega =2\pi f$ gdzie: $\omega$ - szybkość kątowa,  $f$ - częstotliwość obrotów.

Podstawmy te zależności:

$\omega =2\pi f$

$\mathcal{E}=n\omega BS\sin \left(\omega t\right)$

$\mathcal{E}=n\cdot 2\pi fBab\sin \left(\omega t\right)$

$\mathcal{E}=2\pi fnBab\sin \left(\omega t\right)$

Maksymalne napięcie wzbudzone w ramce otrzymamy dla największej możliwej wartości funkcji sinus:

$\sin \left(\omega t\right)=1$  

Zatem:

$U_{\max }=2\pi fnBab$  

gdzie:

$U_{\max }$ - maksymalne napięcie wytworzone w prądnicy.

Podstawmy dane liczbowe do wzoru:

$U_{\max }=2\pi \cdot 5\frac{1}{\text{s}}\cdot 100\cdot 0,3\text{T}\cdot 0,05\text{m}\cdot 0,025\text{m}=$

$=2\pi \cdot 5\frac{1}{\cancel{\text{s}}}\cdot 100\cdot 0,3\frac{\text{V}\cdot \cancel{\text{s}}}{\cancel{{\text{m}}^2}}\cdot \cdot 0,00125\cancel{{\text{m}}^2}=$

$\approx 1,18\text{V}$

NAPIĘCIE SKUTECZNE Napięcie skuteczne prądu przemiennego wyrażamy wzorem: $U_{\text{sk}}=\frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$ gdzie: $U_{\text{sk}}$ - napięcie skuteczne prądu przemiennego, $U_{\text{max}}$ - napięcie maksymalne prądu przemiennego,

Obliczamy napięcie skuteczne:

$U_{sk}=\frac{1,18\text{V}}{\sqrt{2}}\approx 0,83\text{V}$  

Odpowiedź: Wartość maksymalna napięcia wynosi około $1,18\text{V}$, natomiast napięcie skuteczne około $0,83\text{V}$.