Treść:

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI składa się z jednostek podstawowych i jednostek pochodnych. Do jednostek podstawowych należą m.in. metr, sekunda, amper, kelwin, kandela, mol. 

Jednostki naturalne to układ jednostek zaproponowanych przez Maxa Plancka i będących kombinacjami uniwersalnych stałych fizycznych: stałej Plancka $\overline{h}$   (tzw. kreślonej – zdefiniowanej jako

$\overline{h}=\frac{h}{2\pi }$      ,

h – zwykła stała Plancka), stałej grawitacji G i prędkości światła c.

---

a) Napisz nazwę wielkości fizycznej, której jednostką jest 

$\sqrt{\frac{\overline{h}\cdot \text{G}}{{\text{c}}^5}}$  

Uzasadnij odpowiedź.

Rozwiązanie:

Najpierw wstawiamy dane wzoru wzór na stałą Plancka:

$\sqrt{\frac{h\cdot \text{G}}{2\pi \cdot {\text{c}}^5}}$  

Obliczamy jednostkę:

$\sqrt{\frac{\text{J}\cdot \text{s}\cdot \frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}}{{\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^5}}$  

$\sqrt{\frac{\text{N}\cdot \text{m}\cdot \text{s}\cdot \frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}}{\frac{{\text{m}}^5}{{\text{s}}^5}}}$  

$\sqrt{\frac{{\text{N}}^2\cdot \cancel{{\text{m}}^3}\cdot \text{s}\cdot {\text{s}}^5}{{\text{kg}}^2\cdot {\text{m}}^{\cancel{5}}}}$   

$\sqrt{\frac{{\left(\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)}^2\cdot {\text{s}}^6}{{\text{kg}}^2\cdot {\text{m}}^2}}$    

$\sqrt{\frac{\cancel{{\text{kg}}^2}\cdot \cancel{{\text{m}}^2}\cdot {\text{s}}^{\cancel{6}}}{\cancel{{\text{kg}}^2}\cdot \cancel{{\text{m}}^2}\cdot \cancel{{\text{s}}^4}}}$    

$\sqrt{{\text{s}}^2}=\text{s}$   

Odpowiedź: Tą jednostką jest wyrażany czas. 

---

b) Oblicz wartość liczbową tej jednostki w układzie SI.

Rozwiązanie:

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy

$\sqrt{\frac{6,63\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}}{2\cdot 3,14\cdot {\left(3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^5}}$  

$\sqrt{\frac{4,42221\cdot {10}^{-44}\text{N}\cdot \text{m}\cdot \text{s}\cdot \frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}}{6,28\cdot 2,43\cdot {10}^{42}\frac{{\text{m}}^5}{{\text{s}}^5}}}$  

$\sqrt{2,898\cdot {10}^{-87}\frac{{\text{N}}^2\cdot \cancel{{\text{m}}^3}\cdot \text{s}\cdot {\text{s}}^5}{{\text{kg}}^2\cdot {\text{m}}^{\cancel{5}}}}$   

$\sqrt{2,898\cdot {10}^{-87}\frac{{\left(\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)}^2\cdot {\text{s}}^6}{{\text{kg}}^2\cdot {\text{m}}^2}}$    

$\sqrt{2,898\cdot {10}^{-87}\frac{\cancel{{\text{kg}}^2}\cdot \cancel{{\text{m}}^2}\cdot {\text{s}}^{\cancel{6}}}{\cancel{{\text{kg}}^2}\cdot \cancel{{\text{m}}^2}\cdot \cancel{{\text{s}}^4}}}$    

$\sqrt{2,898\cdot {10}^{-87}{\text{s}}^2}\approx 5,4\cdot {10}^{-44}\text{s}$