Rozważamy ruch dwóch samochodów, które...- Zadanie 1.2: Egzamin maturalny Fizyka. Poziom rozszerzony 2018

Rozwiązanie

TREŚĆ:

Zadanie 1.

Rozważamy ruch dwóch samochodów, które poruszały się po poziomym i prostym odcinku trasy. Pierwszy samochód ruszył i jadąc ze stałym przyspieszeniem, rozpędził się w czasie $2 s$ do prędkości o wartości $10 \frac{m}{s}$ . Następnie przez $6 s$ jechał ze stałą prędkością, a potem przez $2 s$ hamował ze stałym opóźnieniem, aż do zatrzymania się. Drugi samochód ruszył równocześnie z pierwszym. Przez pierwszą połowę czasu trwania ruchu rozpędzał się ze stałym przyspieszeniem, a potem hamował ze stałym opóźnieniem, aż do zatrzymania się. Oba samochody przebyły tę samą drogę w tym samym czasie.

Zadanie 1.2.

Oblicz całkowitą drogę przebytą przez pierwszy samochód oraz maksymalną wartość prędkości drugiego samochodu.

ROZWIĄZANIE:

Szukane:

$s_{I} = ?$

$v_{II . m a x} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie drogi $s_{I}$ , jaką przebył podczas całego ruchu samochód pierwszy oraz największej wartości prędkości $v_{II . m a x}$ , z jaką poruszał się podczas swojego ruchu samochód drugi.

Droga, jaką przebył samochód pierwszy

Do wyznaczenia drogi $s_{I}$ możemy posłużyć się wykresem zależności wartości prędkości od czasu, który wykonaliśmy w zadaniu 1.1. Zauważmy, że na wykresie zależności wartości prędkości od czasu pole powierzchni pod wykresem jest równe drodze, jaką przebyło ciało:

$s = P$

Z wykresu odczytujemy, że powierzchnia pod wykresem ma kształt trapezu równoramiennego, którego pole opisuje wzór:

$P = \frac{( a + b )}{2} \cdot h$

gdzie:

$P$ - pole powierzchni trapezu,

$a, b$ - długości podstaw trapezu,

$h$ - wysokość trapezu.

Z wykresu odczytujemy:

$a = 6 s$

$b = 10 s$

$h = 10 \frac{m}{s}$

Wówczas:

$s_{I} = P$

$s_{I} = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Podstawiamy dane do wzoru:

$s_{I} = \frac{6 s + 10 s}{2 ^{1}} \cdot 10^{5} \frac{m}{s} =$

$s_{I} = 16 \cdot 5 \frac{m}{s} \cdot s = 80 m$

Maksymalna wartość prędkości samochodu drugiego

Zgodnie z treścią zadania samochód drugi w czasie $t_{c} = 10 s$ przebył tę samą drogę co samochód pierwszy:

$s_{II} = s_{I}$

Samochód drugi rozpoczął ruch z miejsca, zatem wartość prędkości początkowej wynosi:

$v_{p} = 0$

Następnie samochód połowę czasu trwania $t_{1} = \frac{1}{2} t_{c}$ poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym, czyli ze stałym przyspieszeniem o wartości $a_{1}$ .

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONYM/OPÓŹNIONYM

Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym/opóźnionym, przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s = v_{0} t \pm \frac{1}{2} a t^{2}$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej ciała,

$\pm$ - plus jeżeli ciało przyspiesza, a minus jeżeli ciało zwalnia,

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało,

$t$ - czas ruchu ciała.

▶ Pierwszy etap ruchu samochodu drugiego — ruch jednostajnie przyspieszony

W pierwszym etapie ruchu samochód drugi przebył drogę, którą opisuje wzór:

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2}$

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} (\frac{1}{2} t_{c})^{2}$

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} \frac{1}{4} t_{c}^{2}$

$s_{1} = \frac{1}{8} a_{1} t_{c}^{2}$

W trakcie rozpędzania samochód osiąga prędkość maksymalną, zatem wartość prędkości końcowej tego etapu ruchu jest równa wartości prędkości maksymalnej.

$v_{k} = v_{II . m a x}$

Jednocześnie jest o prędkość początkowa drugiego etapu ruchu samochodu, czyli drugiej połowy trwania ruchu.

▶ Drugi etap ruchu samochodu drugiego — ruch jednostajnie opóźniony

Samochód, w trakcie czasu $t_{2} = \frac{1}{2} t_{c}$ , poruszał się ruchem opóźnionym ze stałym opóźnieniem o wartości $a_{2}$ . Wartość prędkości początkowej samochodu w tym etapie ruchu wynosi:

$v_{p} = v_{II . m a x}$

Wówczas wzór na drogę, jaką samochód przebył w tym etapie ruchu, opisuje wzór:

$s_{2} = v_{II . m a x} t_{2} - \frac{1}{2} a_{1} t_{2}^{2}$

$s_{2} = v_{II . m a x} \frac{1}{2} t_{c} - \frac{1}{2} a_{2} (\frac{1}{2} t_{c})^{2}$

$s_{2} = \frac{1}{2} v_{II . m a x} t_{c} - \frac{1}{2} a_{2} \frac{1}{4} t_{c}$

$s_{2} = \frac{1}{2} v_{II . m a x} t_{c} - \frac{1}{8} a_{2} t_{c}$

Wówczas wzór na całkowitą drogę, jaką przebył samochód drugi, przyjmuję postać:

$s_{II} = s_{1} + s_{2}$

$s_{II} = \frac{1}{8} a_{1} t_{c}^{2} + \frac{1}{2} v_{II . m a x} t_{c} - \frac{1}{8} a_{2} t_{c}$

$s_{II} = \frac{1}{2} v_{II . m a x} t_{c} + \frac{1}{8} t_{c}^{2} (a_{1} - a_{2})$

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA

Korzystając z definicji przyspieszenia, wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$Δ t$ - czas, w jakim zmienia się szybkość.

Zauważmy, że zarówno w pierwszym jak i w drugim etapie ruchu samochód drugi zwiększył swoją szybkość o $Δ v = v_{II . m a x}$ w tym samym czasie $t = \frac{1}{2} t_{c}$ równym połowie całego czasu. Wyciągamy z tego wniosek, że wartość przyspieszenia (opóźnienia) samochodu w każdym etapie ruchu jest taka sama, równa:

$a_{1} = a_{2} = \frac{v _{II . m a x}}{\frac{1}{2} t _{c}}$

$a_{1} = a_{2} = \frac{2 v _{II . m a x}}{t _{c}}$

Wówczas:

$s_{II} = \frac{1}{2} v_{II . m a x} t_{c} + \frac{1}{8} t_{c}^{2} 0 a_{1} - a_{2}$

$s_{II} = \frac{1}{2} v_{II . m a x} t_{c}$

Przekształcamy powyższą zależność:

$\frac{1}{2} v_{II . m a x} t_{c} = s_{II} ∣ \cdot 2$

$v_{II . m a x} t_{c} = 2 s_{II} ∣ : t_{c}$

$v_{II . m a x} = \frac{2 s _{II}}{t _{c}}$

Wiemy, że:

$s_{II} = s_{I}$

Wówczas:

$v_{II . m a x} = \frac{2 s _{I}}{t _{c}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{II . m a x} = \frac{2 \cdot 80 m}{10 s} =$

$v_{II . m a x} = \frac{160 m}{10 s} = 16 \frac{m}{s}$

Odpowiedź: Całkowita droga pokonana przez samochód pierwszy wynosi $80 m$ , a wartość prędkości maksymalnej drugiego samochodu wynosi $16 \frac{m}{s}$ .