TREŚĆ:

Zadanie 8.

Na wykresach poniżej przedstawiono cykle termodynamiczne dwóch silników cieplnych. Osie na obu wykresach są wyskalowane tak samo. Substancją roboczą w każdym silniku jest $1\mathrm{mol}$ gazu doskonałego o tym samym cieple molowym. Silnik I w jednym cyklu pracy oddaje łącznie $19\mathrm{kJ}$ ciepła, a pobiera łącznie $23\mathrm{kJ}$ ciepła ($3\mathrm{kJ}$ w przemianie izochorycznej i $20\mathrm{kJ}$ w przemianie izobarycznej).

Zadanie 8.3.

Wyznacz ciepło pobrane w przemianie izochorycznej przez silnik II. Powołaj się na odpowiednie zależności.

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$Q_{\text{I}}=3\mathrm{kJ}$

Szukane:

$Q_{\text{II}}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie ciepła pobranego przez silnik II w przemianie izochorycznej. Wiemy, że w obu silnikach jest taka sama ilość tej samej substancji roboczej, a wykresy wyskalowane są jednakowo. Do obliczeń musimy zatem wykorzystać wykres dotyczący silnika I, ponieważ podane zostały ilości ciepła, które są pobierane i oddawane przez ten silnik. 

Silnik II pobiera ciepło w przemianie izochorycznej zachodzącej w objętości $V_1$, ponieważ wówczas ciśnienie gazu wzrasta (podczas przemiany izochorycznej w objętości $2V_1$ silnik oddaje ciepło). Ciepło pobrane zapiszemy wzorem:

$Q_{\text{II}}=n{C}_V\Delta T_{\mathrm{II}}$

gdzie:

$Q_{\mathrm{II}}$ - ciepło pobrane przez silnik II w przemianie izochorycznej,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_V$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$\Delta T_{\mathrm{II}}$ - zmiana temperatury gazu.

Zmianę temperatury wyrazimy jako:

$\Delta T_{\mathrm{II}}=T_{\mathrm{II}.2}-T_{\mathrm{II}.1}$

gdzie:

$T_{\mathrm{II}.2}$ - temperatura gazu na końcu przemiany izochorycznej,

$T_{\mathrm{II}.1}$ - temperatura gazu na początku przemiany izochorycznej.

Skorzystamy z równania Clapeyrona:

RÓWNANIE STANU GAZU DOSKONAŁEGO (CLAPEYRONA) $pV=nRT$ gdzie: $p$ - ciśnienie gazu,  $V$ - objętość gazu,  $n$ - liczba moli gazu,  $R$ - stała gazowa,  $T$ - temperatura gazu doskonałego.

Korzystając z powyższego równania oraz wykresu zapisujemy wzory na poszczególne temperatury:

$T_{\mathrm{II}.1}=\frac{p_1{V}_1}{nR}$

$T_{\mathrm{II}.2}=\frac{3p_1{V}_1}{nR}$

Zatem:

$\Delta T_{\mathrm{II}}=\frac{3p_1{V}_1}{nR}-\frac{p_1{V}_1}{nR}$

$\Delta T_{\mathrm{II}}=\frac{2p_1{V}_1}{nR}$

Wstawiamy wzór do wyrażenia na ciepło:

$Q_{\text{II}}=n{C}_V\Delta T_{\mathrm{II}}$

$Q_{\text{II}}=\cancel{n}{C}_V\cdot \frac{2p_1{V}_1}{\cancel{n}R}$

$Q_{\text{II}}=2p_1{V}_1\frac{C_V}{R}$

Nie znamy stosunku ciepła molowego do stałej gazowej, ale wiemy jakie ciepło gaz pobrał w przemianie izochorycznej w silniku I:

$Q_{\text{I}}=n{C}_V\Delta T_{}$

gdzie:

$Q_{\mathrm{I}}$ - ciepło pobrane przez silnik I w przemianie izochorycznej,

$\Delta T_{\mathrm{I}}$ - zmiana temperatury gazu.

Podobnie jak poprzednio, rozpisujemy wzór na zmianę temperatury:

$\Delta T_{\mathrm{I}}=\frac{2p_1{V}_1}{nR}-\frac{p_1{V}_1}{nR}$

$\Delta T_{\mathrm{I}}=\frac{p_1{V}_1}{nR}$

Zatem:

$Q_{\text{I}}=\cancel{n}{C}_V\frac{p_1{V}_1}{\cancel{n}R}$

$Q_{\text{I}}=p_1{V}_1\cdot \frac{C_V}{R}|:p_1{V}_1$

$\frac{C_V}{R}=\frac{Q_{\text{I}}}{p_1{V}_1}$

Wstawiamy powyższe wyrażenie do naszego wzoru:

$Q_{\text{II}}=2p_1{V}_1\frac{C_V}{R}$

$Q_{\text{II}}=2\cancel{p_1{V}_1}\cdot \frac{Q_{\text{I}}}{\cancel{p_1{V}_1}}$

$Q_{\text{II}}=2Q_{\text{I}}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$Q_{\text{II}}=2\cdot 3\mathrm{kJ}=6\mathrm{kJ}$

Odpowiedź: Ciepło pobrane w przemianie izochorycznej przez silnik II wynosiło $6\mathrm{kJ}$.