Treść:

Gwiazda Syriusz B to biały karzeł, a Aldebaran to czerwony olbrzym. W tabeli przedstawiono wybrane informacje dotyczące tych gwiazd.

Wykaż, że średnia gęstość Aldebarana jest wielokrotnie mniejsza niż Syriusza B. Wykonując obliczenia, załóż, że obie gwiazdy są kulami (objętość kuli  $\text{V}=\frac{4}{3}\pi {\text{r}}^2$  ).

---

Rozwiązanie:

Najpierw zapiszmy wzór na gęstość z definicji:

$\text{d}=\frac{\text{m}}{\text{V}}$  

Objętość kuli wstawiamy do wzoru i otrzymujemy:

$\text{d}=\frac{\text{m}}{\frac{4}{3}\pi {\text{r}}^3}$  

Gęstość Syriusza B:

${\text{d}}_{\text{S}}=\frac{{\text{m}}_{\text{S}}}{\frac{4}{3}\pi {\text{r}}_{\text{S}}^3}$   

a gęstość Aldebarana:

${\text{d}}_{\text{A}}=\frac{{\text{m}}_{\text{A}}}{\frac{4}{3}\pi {\text{r}}_{\text{A}}^3}$    

Zapisujemy stosunek gęstości gwiazd:

$\frac{{\text{d}}_{\text{A}}}{{\text{d}}_{\text{S}}}=\frac{\frac{{\text{m}}_{\text{A}}}{\frac{4}{3}\pi {\text{r}}_{\text{A}}^3}}{\frac{{\text{m}}_{\text{S}}}{\frac{4}{3}\pi {\text{r}}_{\text{S}}^3}}=\frac{{\text{m}}_{\text{A}}}{\frac{4}{3}\pi {\text{r}}_{\text{A}}^3}\cdot \frac{\frac{4}{3}\pi {\text{r}}_{\text{S}}^3}{{\text{m}}_{\text{S}}}$      

$\frac{{\text{d}}_{\text{A}}}{{\text{d}}_{\text{S}}}=\frac{{\text{m}}_{\text{A}}}{{\text{r}}_{\text{A}}^3}\cdot \frac{{\text{r}}_{\text{S}}^3}{{\text{m}}_{\text{S}}}$  

Wstawiamy dane liczbowe z tabeli i obliczamy:

$\frac{{\text{d}}_{\text{A}}}{{\text{d}}_{\text{S}}}=\frac{2,5{\text{m}}_{\text{s}}}{{\left(25{\text{r}}_{\text{S}}\right)}^3}\cdot \frac{{\left(0,008{\text{r}}_{\text{S}}\right)}^3}{9,98{\text{m}}_{\text{S}}}$   

$\frac{{\text{d}}_{\text{A}}}{{\text{d}}_{\text{S}}}=8,2\cdot {10}^{-12}\to {\text{d}}_{\text{A}}=8,2\cdot {10}^{-12}\cdot {\text{d}}_{\text{S}}\to {\text{d}}_{\text{A}}<{\text{d}}_{\text{S}}$