Dane:

$\alpha ={45}^{\circ }$  

$\mu =0,2$  

Przyjmujemy, że:

$g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Szukane:

$a=?$  

Rozwiązanie:

Na ciało znajdujące się na równi pochyłej działa siła ciężkości ${\overrightarrow{F}}_g$  oraz tarcia $\overrightarrow{T}$ .  Ponadto siła ciężkości rozkłada się na składowe: równoległą do równi ${\overrightarrow{F}}_{\mid \mid }$ , która powoduje ruch paczki oraz prostopadłą do równi  ${\overrightarrow{F}}_{\perp }$  odpowiadającą sile nacisku paczki na równię. Zatem:

Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

$\sin \alpha =\frac{F_{\mid \mid }}{F_g}\text{, czyli }{F}_{\mid \mid }=F_g\sin \alpha$  

$\cos \alpha =\frac{F_{\perp }}{F_g}\text{, czyli }{F}_{\perp }=F_g\cos \alpha$  

Siłę ciężkości przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_g=mg$  

gdzie $m$  jest masą ciała, $g$  jest przyspieszeniem ziemskim. Siłę tarcia obliczamy korzystając ze wzoru:

$T=\mu F_N$  

gdzie $T$  jest siłę tarcia, $\mu$  jest współczynnikiem tarcia, $F_N$  jest siłą nacisku ciała na podłoże. W naszym przypadku wiemy, że:

$F_N=F_{\perp }$  

Wówczas otrzymujemy, że siła tarcia ma postać:

$T=\mu F_{\perp }$  

$T=\mu F_g\cos \alpha$  

$T=\mu mg\cos \alpha$  

Wypadkowa siła działająca na paczkę powodująca jej zsuwanie się z równi pochyłej ma postać:

$F_w=F_{\mid \mid }-T$  

$F_w=F_g\sin \alpha -\mu mg\cos \alpha$  

$F_w=mg\sin \alpha -\mu mg\cos \alpha$  

$F_w=mg\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)$  

Korzystając z II zasady dynamiki wiemy, że siłę wypadkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_w=ma$  

gdzie $m$  jest masą poruszającego się układu z przyspieszeniem $a$ . Zatem przyspieszenie paczki będzie miało postać:

$ma=F_w$  

$\cancel{m}a=\cancel{m}g\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)$  

$a=g\left(\sin \alpha -\mu \cos \alpha \right)$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(\sin {45}^{\circ }-0,2\cdot \cos {45}^{\circ }\right)=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}-0,2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\approx$  

$\approx 9,81\frac{m}{{\text{s}}^2}\cdot \left(0,7071-0,2\cdot 0,7071\right)=9,81\frac{m}{{\text{s}}^2}\cdot \left(0,7071-0,14142\right)=9,81\frac{m}{{\text{s}}^2}\cdot 0,56568=$  

$=5,5493208\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx 5,55\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Odpowiedź: Przyspieszenie paczki na równi wynosi około 5,55 ㎧².