$\text{a)}$  

Zasięg rzutu poziomego obliczamy korzystając z wzoru:

$z=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$  

gdzie  

$z$  - zasięg rzutu,  

$v_0$  - wartość prędkości początkowej ciała,  

$h$  - wysokość, z jakiej rzucono ciało,  

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Niech zasięg rzutu dla poszczególnych piłek wynosi:

$z_1=v_{0.1}\sqrt{\frac{2h}{g}}\text{ oraz }{z}_2=v_{0.2}\sqrt{\frac{2H}{g}}$  

Wiemy, że obie piłki upadły na trawnik w tym samym miejscu, co oznacza że ich zasięgi rzutu są takie same:

$z_1=z_2$  

Zatem związek pomiędzy szybkościami początkowymi piłek, a ich wysokościami wynosi:

$z_1=z_2$  

$v_{0.1}\sqrt{\frac{2h}{g}}=v_{0.2}\sqrt{\frac{2H}{g}}$  

$v_{0.1}\frac{\sqrt{2h}}{\cancel{\sqrt{g}}}=v_{0.2}\frac{\sqrt{2H}}{\cancel{\sqrt{g}}}\mid :v_{0.2}\sqrt{2h}$  

$\frac{v_{0.1}}{v_{0.2}}=\frac{\sqrt{2H}}{\sqrt{2h}}$  

$\frac{v_{0.1}}{v_{0.2}}=\sqrt{\frac{2H}{2h}}$  

$\frac{v_{0.1}}{v_{0.2}}=\sqrt{\frac{H}{h}}$  

 

$\text{b)}$  

Wysokość spadania ciała w rzucie poziomym przedstawiamy zależnością:

$h=\frac{1}{2}g{t}^2$  

gdzie:  

$h$  - wysokość, z jakiej wyrzucono ciało,  

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego,  

$t$  - czas spadku ciała.

Wyznaczmy czas spadku dla ogólnego przypadku:

$\frac{1}{2}g{t}^2=h\mid \cdot 2$  

$g{t}^2=2h\mid :g$  

$t^2=\frac{2h}{g}\mid \sqrt{}$  

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$  

Zatem czasy spadku dla poszczególnych piłek mają postać:

$t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}\text{ oraz }{t}_2=\sqrt{\frac{2H}{g}}$  

Wówczas:

$\frac{t_1}{t_2}=\frac{\sqrt{\frac{2h}{g}}}{\sqrt{\frac{2H}{g}}}$  

$\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{\frac{\frac{2h}{g}}{\frac{2H}{g}}}$  

$\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{\frac{2h}{g}\cdot \frac{g}{2H}}$  

$\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{\frac{h}{H}}$