Z prostoliniowym kierunkiem autostrady wiążemy oś x. Z punktu...- Zadanie Zadanie 6.12*: Fizyka 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$x_{0} = 0$

$t_{0} = 0$

$a_{O} = 0, 8 \frac{m}{s ^{2}}$

$t^{'} = 10 s$

$a_{A} = 1, 2 \frac{m}{s ^{2}}$

$a)$

Korzystamy z wzoru na położenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym. Jego ogólna postać to:

$x (t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

Wiemy, że zarówno opel, jak i audi wyruszają z tej samej zerowej współrzędnej z zerową prędkością początkową. Oba samochody poruszają się w tę samą stronę. Jedynie czas ich startu różni się o t'. Możemy dlatego zapisać równania dla obu samochodów, które mają postać:

$x_{O} (t) = \frac{1}{2} a_{O} (t + t^{'})^{2}$

$x_{A} (t) = \frac{1}{2} a_{A} t^{2}$

Szukamy po jakim czasie audi dogoni opla. Oznacza to, że samochody będą miały w tym czasie tą samą współrzędną położenia. Dlatego możemy zapisać, że:

$x_{O} (t) = x_{A} (t)$

Porównujemy równania:

$\frac{1}{2} a_{O} (t + t^{'})^{2} = \frac{1}{2} a_{A} t^{2} ∣ \cdot 2$

$a_{O} (t^{2} + t^{'}^{2} + 2 t t^{'}) = a_{A} t^{2}$

$a_{O} t^{2} + a_{O} t^{'}^{2} + 2 a_{O} t t^{'} = a_{A} t^{2} ∣ - a_{A} t^{2}$

$a_{O} t^{2} - a_{A} t^{2} + a_{O} t^{'}^{2} + 2 a_{O} t t^{'} = 0$

Podstawiamy zmienne liczbowe z pominięciem jednostek:

$0, 8 t^{2} - 1, 2 t^{2} + 0, 8 \cdot (10)^{2} + 2 \cdot 0, 8 \cdot 10 \cdot t = 0$

$- 0, 4 t^{2} + 80 + 16 t = 0$

$- 0, 4 t^{2} + 16 t + 80 = 0 ∣ : (- 0, 4)$

$t^{2} - 40 t - 200 = 0$

Widzimy, że otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Jego ogólna postać to:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Gdzie dla naszego przypadku mamy, że:

$x = t, a = 1, b = - 40, c = - 200$

Badamy deltę równania kwadratowego:

$Δ = b^{2} - 4 a c$

$Δ = (- 40)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 200) = 1600 + 800 = 2400$

$Δ > 0$

Oznacza to, że mamy dwa rozwiązania równania w postaci:

$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} oraz x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$

Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy, że:

$t_{1} = \frac{- ( - 40 ) - 2400}{2 \cdot 1} = \frac{40 - 48 , 99}{2} = \frac{- 8 , 99}{2} = - 4, 495$

$t_{2} = \frac{- ( - 40 ) + 2400}{2 \cdot 1} = \frac{40 + 48 , 99}{2} == \frac{88 , 99}{2} = 44, 495$

Wiemy, że czas nie może mieć wartości ujemnej dlatego otrzymujemy, że czas, po którym audi dogoni opla wynosi:

$t = 44, 495 s \approx 44, 5 s$

Odległość po jakiej to nastąpi obliczymy korzystając z równań ruchu dla pojazdów. Wybierzmy jedno równanie ruchu, np. dla audi:

$x_{A} (t) = \frac{1}{2} a_{A} t^{2}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$x_{A} (44, 5 s) = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 \frac{m}{s ^{2}} \cdot (44, 5 s)^{2} = 0, 5 \cdot 1, 2 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 1980, 25 s^{2} =$

$= 1188, 15 m \approx 1190 m$

Oznacza to, że samochody spotkają się po czasie t=44,5 s w odległości $x \approx 1190 m$ od startu.

$b)$

Szukamy po jakim czasie prędkości obu samochodów zrównają się od chwili wyjazdu opla. W tym celu zapiszmy równania prędkości dla obu samochodów. Korzystamy z ogólnego wzoru w postaci:

$v (t) = v_{0} + a t$

Wiemy, że oba samochody mają prędkość początkowa równą zero. Możemy wówczas zapisać, że:

$v_{O} (t) = a_{O} t$

$v_{A} (t) = a_{A} (t - t^{'})$

Prędkości mają się zrównać. Możemy więc zapisać, że:

$v_{O} (t) = v_{A} (t)$

$a_{O} t = a_{A} (t - t^{'})$

$a_{O} t = a_{A} t - a_{A} t^{'} ∣ - a_{A} t$

$- a_{A} t + a_{O} t = - a_{A} t^{'} ∣ : (- 1)$

$a_{A} t - a_{O} t = a_{A} t^{'}$

$t (a_{A} - a_{O}) = a_{A} t^{'} ∣ : (a_{A} - a_{O})$

$t = \frac{a _{A} t ^{'}}{a _{A} - a _{O}}$

Podstawiamy dane liczbowe deo wzoru i otrzymujemy czas po jakim prędkości zrównają się:

$t = \frac{1 , 2 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 10 s}{1 , 2 \frac{m}{s ^{2}} - 0 , 8 \frac{m}{s ^{2}}} = \frac{12 \frac{m}{s ^{2}} \cdot s}{0 , 4 \frac{m}{s ^{2}}} = 30 s$

Aby obliczyć ile będzie wynosiła ta szybkość podstawiamy otrzymany czas do jednego z równań na prędkość. Wybierzmy na przykład równanie prędkości dla opla, otrzymujemy wówczas, że:

$v_{O} (t) = a_{O} t$

$v_{O} (t) = 0, 8 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 30 s = 24 \frac{m}{s}$

Oznacza to, że samochody będą miały takie same prędkości po czasie t=30 s, a prędkość będzie wtedy wynosiła v=24 m/s. Szukamy wzajemnej odległości pojazdów. Obliczamy drogi, jakie przebędą samochody:

$s_{O} = \frac{1}{2} a_{O} t^{2}$

$s_{A} = \frac{1}{2} a_{A} (t - t^{'})^{2}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$s_{O} = \frac{1}{2} \cdot 0, 8 \frac{m}{s ^{2}} \cdot (30 s)^{2} = \frac{1}{2} \cdot 0, 8 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 900 s^{2} = 360 m$

$s_{A} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 \frac{m}{s ^{2}} \cdot (30 s - 10 s)^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 \frac{m}{s ^{2}} \cdot (20 s)^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 400 m = 240 m$

Oznacza to, że odległość pomiędzy samochodami wynosi:

$d = s_{O} - s_{A}$

$d = 360 m - 240 m = 120 m$

$c)$

Wykresy zależności s(t):

Wykres zależności v(t):

Rysujemy wykres v(t) gdzie figury mają jednakowe pola powierzchni. Najpierw zaznaczamy figurę dla wykresu audi. Wybierzmy jakieś całkowite wartości. Na przykład jeśli weźmiemy dla 30 sekund wówczas na osi prędkości będziemy mieli wartość 24. Pamiętamy, że audi rozpoczęło ruch po 10 sekundach. Wówczas figura jest trójkątem prostokątnym, a pole powstałej figury wynosi:

$P_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot (30 - 10) \cdot 24 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 24 = 240$

Szukamy takiej figury dla opla, aby miała wartość 240. Z wzoru na pole trójkąta prostokątnego możemy zapisać:

$P_{O Δ} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y = 240$

Gdzie x jest długością boku na osi x, a y jest długością boku na osi y. Znamy również równanie prostej, jaką tworzy wykres prędkości dla opla. Możemy wówczas zapisać, że:

$y = 0, 8 x$

W ten sposób otrzymaliśmy dwa równania z dwoma niewiadomymi:

${\frac{1}{2} x y = 240 ∣ \cdot 2 y = 0, 8 x$