Motocyklista 2/3 drogi przejechał z szybkością 10 m/s, a pozostałą...- Zadanie Zadanie 4.7: Fizyka 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$v_{1} = 10 \frac{m}{s}$

$v_{2} = 20 \frac{m}{s}$

$a)$

Szukane:

$v_{\overset{s}{ˊ} r} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie szybkości średniej motocyklisty na całej drodze. Średnia szybkość ruchu jest stosunkiem całkowitej drogi przebytej przez ciało do całkowitego czasu ruchu:

$v_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{Δ s}{Δ t}$

gdzie:

$Δ s$ - całkowita droga jaką pokonało ciało,

$Δ t$ - całkowity czas ruchu ciała.

Całkowita droga przebyta przez motocyklistę wynosi:

$Δ s = s$

Nie znamy całkowitego czasu ruchu, ale wiemy z jaką szybkością porusza się motocyklista na poszczególnych etapach ruchu. Zakładając, że motocyklista na każdym z etapów porusza się ze stałą szybkością szybkością możemy wyznaczyć czas ruchu, na poszczególnych etapach. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$s$ - całkowita droga, jaką pokonuje motocyklista,

$s_{1}$ - pierwsza część drogi pokonywanej przez motocyklistę,

$s_{2}$ - druga część drogi pokonywanej przez motocyklistę,

$v_{1}$ - prędkość, z jaką porusza się motocyklista na pierwszym etapie ruchu,

$v_{2}$ - prędkość, z jaką porusza się motocyklista na drugim etapie ruchu.

W treści zadania podane mamy, że motocyklista 2/3 drogi przejechał z szybkością $v_{1}$ , a 1/3 całej drogi przejechał z szybkością $v_{2}$ . Wówczas prawdziwe są zależności:

$s_{1} = \frac{2}{3} s$

$s_{2} = \frac{1}{3} s$

Wiemy, że w ogólnym przypadku wartość prędkości liniowej możemy przedstawić wzorem:

$v = \frac{s}{t}$

gdzie:

$v$ - szybkość,

$s$ - droga,

$t$ - czas.

Wartość prędkości motocyklisty na pierwszym etapie ruchu będzie wynosiła:

$v_{1} = \frac{s _{1}}{t _{1}}$

gdzie:

$t_{1}$ - czas ruchu motocyklisty na pierwszym etapie ruchu.

Z powyższych zależności wynika, że czas ruchu motocyklisty na pierwszym etapie tego ruchu będzie wynosił:

$v_{1} = \frac{s _{1}}{t _{1}} ∣ \cdot t_{1}$

$v_{1} t_{1} = s_{1}$

$v_{1} t_{1} = \frac{2}{3} s ∣ : v_{1}$

$t_{1} = \frac{2}{3} \frac{s}{v _{1}}$

Wartość prędkości motocyklisty na drugim etapie ruchu będzie wynosiła:

$v_{2} = \frac{s _{2}}{t _{2}}$

gdzie:

$t_{2}$ - czas ruchu motocyklisty na drugim etapie ruchu.

Podobnie jak wcześniej wyznaczmy wzór, z którego obliczyć możemy czas na drugim etapie ruchu:

$v_{2} = \frac{s _{2}}{t _{2}} ∣ \cdot t_{2}$

$v_{2} t_{2} = s_{2}$

$v_{2} t_{2} = \frac{1}{3} s ∣ : v_{2}$

$t_{2} = \frac{1}{3} \frac{s}{v _{2}}$

Z powyższych zależności wynika, że całkowity czas ruchu motocyklisty będzie wynosił:

$Δ t = t_{1} + t_{2}$

$Δ t = \frac{2}{3} \frac{s}{v _{1}} + \frac{1}{3} \frac{s}{v _{2}}$

$Δ t = \frac{2 v _{2} s}{3 v _{1} v _{2}} + \frac{v _{1} s}{3 v _{1} v _{2}}$

$Δ t = \frac{v _{1} s + 2 v _{2} s}{3 v _{1} v _{2}}$

$Δ t = (\frac{v _{1} + 2 v _{2}}{3 v _{1} v _{2}}) s$

Zatem średnią wartość prędkości motocyklisty obliczymy ze wzoru:

$v_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{Δ s}{Δ t}$

$v_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{s}{( \frac{v _{1} + 2 v _{2}}{3 v _{1} v _{2}} ) s}$

$v_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{3 v _{1} v _{2}}{v _{1} + 2 v _{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{3 \cdot 10 \frac{m}{s} \cdot 20 \frac{m}{s}}{2 \cdot 20 \frac{m}{s} + 10 \frac{m}{s}} = \frac{600 ( \frac{m}{s} ) ^{2}}{40 \frac{m}{s} + 10 \frac{m}{s}} =$

$= \frac{600 ( \frac{m}{s} ) ^{2}}{50 \frac{m}{s}} = 12 \frac{m}{s}$

Odpowiedź: Średnia szybkość motocyklisty na całej drodze wynosi 12 m/s.

$b)$

Nie znamy długości dróg na poszczególnych odcinkach trasy oraz nie znamy długości całkowitej drogi motocyklisty, czyli nie jesteśmy w stanie określić dokładnych wartości czasów ruchu motocyklisty.

Jednak wiemy, że poszczególne odcinki trasy motocyklista przebył w czasach, które możemy wyrazić jako:

$t_{1} = \frac{s _{1}}{v _{1}}$ oraz $t_{2} = \frac{s _{2}}{v _{2}}$