Dane:

$R=25\text{m}$  

$v=45\frac{\text{km}}{\text{h}}=\stackrel{1}{\sout{45}}\cdot \frac{1000\text{m}}{\underset{80}{\sout{3600}}\text{s}}=12,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

 

$a)$  

Wartość przyspieszenia średniego ciała przedstawiamy wzorem:

$\left|{\overrightarrow{a}}_{\text{sˊr}}\right|=\frac{\left|\Delta \overrightarrow{v}\right|}{\Delta t}$  

gdzie $\left|{\overrightarrow{a}}_{\text{sˊr}}\right|$  jest wartością przyspieszenia, $\left|\Delta \overrightarrow{v}\right|$  jest wartością przyrostu prędkości, $\Delta t$  jest całkowitym czasem, w którym następuje zmiana prędkości. Zacznijmy od wyznaczenia wektora przyrostu prędkości. Konstruujemy okrąg, który dzielimy na sześć części, a następnie zaznaczamy wektor prędkości początkowej i końcowej:

Konstruujemy wektor przyrostu prędkości (korzystamy z własności trójkąta równobocznego):

Z tego wynika, że:

$\Delta \overrightarrow{v}=v$  

Czas ruchu wynosi 1/6 okresu tego ruchu, czyli:

$\Delta t=\frac{1}{6}T$  

Okres ruchu jest czasem w jakim samochód dokładnie raz pokona okrąg. Wiemy, że nasz samochód porusza się ze stała prędkością $v$  po drodze będącej odwodem koła o promieniu $R$ , czyli prędkość samochodu możemy przedstawić wzorem:

$v=\frac{s}{T}$  

$v=\frac{2\pi R}{T}$  

Wówczas okres ruchu będzie wynosił:

$v=\frac{2\pi R}{T}\mid \cdot T$  

$vT=2\pi R\mid :v$  

$T=\frac{2\pi R}{v}$  

Zatem czas ruchu samochodu, w którym rozważamy jego przyspieszenie ma postać:

$\Delta t=\frac{1}{6}T$  

$\Delta t=\frac{1}{6}\frac{2\pi R}{v}$  

$\Delta t=\frac{2\pi R}{6v}$  

Zatem wartość przyspieszenia średniego będzie miała postać:

$\left|{\overrightarrow{a}}_{\text{sˊr}}\right|=\frac{\left|\Delta \overrightarrow{v}\right|}{\Delta t}$  

$\left|{\overrightarrow{a}}_{\text{sˊr}}\right|=\frac{v}{\frac{2\pi R}{6v}}$  

$\left|{\overrightarrow{a}}_{\text{sˊr}}\right|=\frac{v\cdot 6v}{2\pi R}$  

$\left|{\overrightarrow{a}}_{\text{sˊr}}\right|=\frac{3v^2}{\pi R}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\left|{\overrightarrow{a}}_{\text{sˊr}}\right|=\frac{3\cdot {\left(12,5\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{3,14\cdot 25\text{m}}=\frac{3\cdot 156,25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{78,5\text{m}}=\frac{468,75\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{78,5\text{m}}\approx$  

$\approx 5,97133758\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx 6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

 

$b)$  

Przyspieszenie dośrodkowe ciała poruszającego się po okręgu przedstawiamy wzorem:

$a_d=\frac{v^2}{R}$  

gdzie $a_d$  jest przyspieszeniem dośrodkowym, $v$  jest prędkością liniową tego ciała poruszającego się po okręgu o promieniu $R$ . Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a_d=\frac{{\left(12,5\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{25\text{m}}=\frac{156,25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{25\text{m}}=6,25\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\approx 6,3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$